Math Problem Statement

Um projeto prevê a construção de uma praça nobterreno triangular abaixo. determine a medida x:​

Solution

Para resolver o problema, precisamos calcular a medida xx no triângulo fornecido na imagem. O triângulo é representado com dois lados conhecidos (90m e 40m) e um ângulo interno de 65°.

Vamos usar a Lei dos Cossenos, que é uma generalização do teorema de Pitágoras e é útil para resolver triângulos oblíquos. A fórmula da Lei dos Cossenos é dada por:

c2=a2+b22abcos(C)c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)

Onde:

  • aa e bb são os lados conhecidos.
  • CC é o ângulo entre esses dois lados.
  • cc é o lado oposto ao ângulo CC.

Neste caso:

  • a=40ma = 40 \, \text{m}
  • b=90mb = 90 \, \text{m}
  • C=65C = 65^\circ

Substituindo os valores na fórmula, temos:

x2=402+90224090cos(65)x^2 = 40^2 + 90^2 - 2 \cdot 40 \cdot 90 \cdot \cos(65^\circ)

Primeiro, vamos calcular cos(65)\cos(65^\circ):

cos(65)0.4226\cos(65^\circ) \approx 0.4226

Agora, substituímos e resolvemos a equação:

x2=402+902240900.4226x^2 = 40^2 + 90^2 - 2 \cdot 40 \cdot 90 \cdot 0.4226

x2=1600+8100240900.4226x^2 = 1600 + 8100 - 2 \cdot 40 \cdot 90 \cdot 0.4226

x2=1600+8100236000.4226x^2 = 1600 + 8100 - 2 \cdot 3600 \cdot 0.4226

x2=97003042.72x^2 = 9700 - 3042.72

x2=6657.28x^2 = 6657.28

x=6657.28x = \sqrt{6657.28}

x81.58mx \approx 81.58 \, \text{m}

Portanto, a medida de xx é aproximadamente 81.58 metros.

Se precisar de detalhes ou tiver alguma dúvida, por favor, avise-me.

Aqui estão algumas perguntas relacionadas para expandir o entendimento:

  1. Como a Lei dos Cossenos pode ser aplicada em outros tipos de triângulos?
  2. O que acontece se o ângulo CC for 90° na fórmula da Lei dos Cossenos?
  3. Como calcular os ângulos restantes de um triângulo usando a Lei dos Senos?
  4. Qual é a diferença entre a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos?
  5. Como encontrar a área de um triângulo usando a fórmula de Heron?
  6. O que é um triângulo obtusângulo e como identificá-lo?
  7. Quais são as propriedades de um triângulo equilátero?
  8. Como calcular a altura de um triângulo quando apenas os lados são conhecidos?

Dica: Ao lidar com triângulos, desenhar um esboço e identificar os lados e ângulos conhecidos pode ajudar a escolher a abordagem correta para resolver o problema.

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Triangle geometry
Law of Cosines

Formulas

Law of Cosines: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)

Theorems

Law of Cosines

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