Math Problem Statement

Ratkaise langan jännitysvoima T, kun tunnetaan massa m, pyörimisnopeus n sekä langan pituus L

Ratkaise langan jännitysvoima T, kun tunnetaan massa m, pyörimisnopeus n sekä langan pituus L

Solution

Tässä tilanteessa meillä on kappale, joka pyörii pystytason ympyräradalla. Voimme käyttää pyörimisen dynamiikkaa määrittääksemme langan jännitysvoiman TT.

Analyysi:

Kappale pyörii radalla, jonka säde on langan pituus r=Lr = L. Kappaleen liikettä vaikuttavat kaksi voimaa:

  1. Painovoima mgmg: Tämä vaikuttaa pystysuunnassa alaspäin.
  2. Langan jännitysvoima TT: Tämä pitää kappaleen ympyräradalla ja sillä on komponentteja sekä pystysuunnassa että radan keskipisteeseen päin.

Oletetaan, että kappale pyörii vakionopeudella.

Ympyräliikkeessä

  • Keskeisvoima, joka pitää kappaleen ympyräradalla, aiheutuu langan jännitysvoiman vaakasuuntaisesta komponentista. Tämä keskeisvoima on:

Fkeskeinen=Tcos(ϕ)=mrω2F_{\text{keskeinen}} = T \cos(\phi) = m r \omega^2

missä ω=2πn\omega = 2 \pi n on kulmanopeus ja nn on pyörimisnopeus kierroksina sekunnissa.

Pystysuuntainen tasapaino

Langan jännitysvoima tukee myös kappaleen painovoimaa pystysuunnassa. Pystysuuntainen komponentti jännitysvoimasta on:

Tsin(ϕ)=mgT \sin(\phi) = mg

Nyt meillä on kaksi yhtälöä, joiden avulla voimme ratkaista jännitysvoiman TT:

  1. Tcos(ϕ)=mrω2T \cos(\phi) = m r \omega^2
  2. Tsin(ϕ)=mgT \sin(\phi) = mg

Ratkaisu:

Voimme ratkaista TT:

  1. Jännitysvoiman vaakakomponentista:

T=mrω2cos(ϕ)T = \frac{m r \omega^2}{\cos(\phi)}

  1. Kulma ϕ\phi voidaan ratkaista toisesta yhtälöstä:

ϕ=arctan(grω2)\phi = \arctan \left( \frac{g}{r \omega^2} \right)

Kun nämä ovat tiedossa, voit laskea jännitysvoiman TT suoraan.

Yhteenveto:

Jännitysvoima TT riippuu massasta mm, pyörimisnopeudesta nn, langan pituudesta LL ja painovoiman kiihtyvyydestä gg.

Jos haluat tarkempia laskuja esimerkiksi numeeristen arvojen kanssa, voimme laskea tulokset tarkemmin.

Onko sinulla tarkempia tietoja näistä muuttujista?


Lisäkysymyksiä:

  1. Kuinka pyörimisnopeus vaikuttaa jännitysvoimaan eri massoilla?
  2. Miten jännitysvoima muuttuu, jos langan pituus kasvaa?
  3. Mitä tapahtuu jännitysvoimalle, jos pyörimisnopeus kaksinkertaistuu?
  4. Kuinka voisimme mitata langan jännitysvoiman käytännössä?
  5. Miten painovoiman kiihtyvyys gg vaikuttaa tähän järjestelmään, jos se olisi eri planeetalla?

Vinkki: Pyörimisnopeus nn voidaan helposti muuntaa kulmanopeudeksi käyttämällä kaavaa ω=2πn\omega = 2 \pi n, mikä helpottaa laskuja.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Circular Motion
Centripetal Force
Trigonometry
Rotational Dynamics

Formulas

F_{\text{keskeinen}} = T \cos(\phi) = m r \omega^2
T \sin(\phi) = mg
T = \frac{m r \omega^2}{\cos(\phi)}
\phi = \arctan \left( \frac{g}{r \omega^2} \right)
\omega = 2 \pi n

Theorems

Newton's Second Law of Motion
Centripetal Force Law

Suitable Grade Level

Grades 10-12 (High School Physics)