I en musikklass har eleverna antingen violin eller piano som huvudinstrument. Vid en konsert får eleverna välja mellan ett soloframträdande eller att uppträda i par. En pianist kan enbart uppträda med en violinist och vice versa. Det visar sig att 2/3 av eleverna med piano som huvudinstrument och 3/5 av eleverna med violin som huvudinstrument valde att framträda i par. Hur stor andel av alla eleverna uppträdde solo?

Vi kan lösa detta steg för steg genom att introducera variabler och använda den information vi har fått:

### Antaganden:
- Låt \( x \) vara antalet pianister.
- Låt \( y \) vara antalet violinister.

### Elever som spelar i par:
- \( \frac{2}{3} \) av pianisterna väljer att spela i par, vilket betyder att \( \frac{2}{3}x \) pianister uppträder i par.
- \( \frac{3}{5} \) av violinisterna väljer att spela i par, vilket betyder att \( \frac{3}{5}y \) violinister uppträder i par.

Eftersom en pianist alltid uppträder i par med en violinist, måste antalet pianister som uppträder i par vara lika med antalet violinister som uppträder i par. Därför kan vi ställa upp ekvationen:

\[
\frac{2}{3}x = \frac{3}{5}y
\]

### Lösning av ekvationen:
För att lösa ekvationen, multiplicera båda sidor med 15 (minsta gemensamma nämnare för 3 och 5) för att eliminera bråken:

\[
15 \times \frac{2}{3}x = 15 \times \frac{3}{5}y
\]

Detta förenklas till:

\[
5 \times 2x = 3 \times 3y
\]

\[
10x = 9y
\]

Därmed får vi relationen mellan pianister och violinister:

\[
x = \frac{9}{10}y
\]

### Andel elever som uppträdde solo:
Nu vet vi att förhållandet mellan pianister och violinister är \( x = \frac{9}{10}y \). Det betyder att för varje 10 violinister finns det 9 pianister.

De pianister som inte uppträder i par är \( \frac{1}{3}x \), och de violinister som inte uppträder i par är \( \frac{2}{5}y \).

Nu kan vi beräkna andelen av alla elever som uppträder solo. Det totala antalet elever är \( x + y \), och de som uppträder solo är \( \frac{1}{3}x + \frac{2}{5}y \).

Vi sätter in \( x = \frac{9}{10}y \) i uttrycket för de som uppträder solo:

\[
\frac{1}{3}x + \frac{2}{5}y = \frac{1}{3} \times \frac{9}{10}y + \frac{2}{5}y
\]

\[
= \frac{9}{30}y + \frac{12}{30}y = \frac{21}{30}y = \frac{7}{10}y
\]

Alltså, \( \frac{7}{10}y \) elever uppträder solo.

### Total andel som uppträder solo:
Totala antalet elever är \( x + y = \frac{9}{10}y + y = \frac{19}{10}y \).

Andelen av alla elever som uppträder solo är:

\[
\frac{\frac{7}{10}y}{\frac{19}{10}y} = \frac{7}{19}
\]

### Slutsats:
Andelen av alla elever som uppträdde solo är \( \frac{7}{19} \), eller ungefär 36,8 %.

Vill du ha fler detaljer eller ställa frågor? Här är fem relaterade frågor att tänka på:

1. Hur kan vi tillämpa denna metod för liknande problem med olika instrument?
2. Hur skulle resultatet ändras om fler elever valde att spela solo?
3. Vad händer om vi introducerar ett tredje instrument i mixen?
4. Hur kan vi tolka resultatet i praktiska situationer inom konsertplanering?
5. Kan vi lösa problemet med en annan typ av uppdelning eller metod?

**Tips:** Var alltid noga med att skapa en ekvation som relaterar de olika delarna i problemet för att säkerställa att alla aspekter beaktas.

Learn how to solve a concert problem where students play either piano or violin and choose between solo or pair performances. The solution involves using algebraic equations and proportions to determine the percentage of students performing solo. This is a great problem for students in Grades 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation