Za rješavanje ovog problema, analizirajmo zadatak korak po korak:

Dano:

Stranice trokuta $ABC$ su:

• $a = 24 \, \text{cm}$,
• $b = 12 \, \text{cm}$,
• $c = 18 \, \text{cm}$.

Najdulja stranica trokuta je $a = 24 \, \text{cm}$.

Trokutu je upisana kružnica, a zatim je povučen pravac paralelan s najduljom stranicom, koji dijeli trokut u manji trokut i trapez. Pitanje je koliki je opseg nastalog manjeg trokuta.

---

1. Omjer manjih trokuta

Kada povučemo pravac paralelan s jednom od stranica trokuta (u ovom slučaju, s najduljom stranicom $a = 24$), dobivamo slične trokute zbog paralelnosti.

Omjer duljina stranica sličnih trokuta jednak je omjeru visine paralelne osnovice prema visini cijelog trokuta. Recimo da je omjer smanjenja $k$, pa su stranice manjeg trokuta proporcionalne s $k$.

2. Stranice manjeg trokuta

Ako je omjer smanjenja $k$, stranice manjeg trokuta bit će:

• $a' = k \cdot 24$,
• $b' = k \cdot 12$,
• $c' = k \cdot 18$.

Opseg manjeg trokuta iznosi: $P' = a' + b' + c' = k \cdot (24 + 12 + 18) = k \cdot 54.$

---

3. Konačni rezultat

Ako pretpostavimo specifičan omjer smanjenja $k$ (npr. polovicu visine, $k = 0.5$), tada će opseg manjeg trokuta biti: $P' = 0.5 \cdot 54 = 27 \, \text{cm}.$

Ako omjer smanjenja nije specificiran, opseg manjeg trokuta bit će $k \cdot 54$, gdje je $k$ omjer visine manjeg trokuta prema visini većeg trokuta.

---

Zaključak

Za konkretan omjer smanjenja $k = 0.5$, opseg manjeg trokuta iznosi 27 cm.

---

Imate li dodatnih pitanja ili želite razradu pojedinih koraka?
Evo 5 dodatnih pitanja koja bi mogla proširiti ovu temu:

1. Kako izračunati omjer smanjenja ($k$) ako su zadane visine trokuta?
2. Kako se određuje sličnost trokuta u geometrijskim problemima?
3. Kako izračunati opseg trapeza nastalog povlačenjem paralelnog pravca?
4. Može li se ovakav postupak primijeniti na nepravilne trokute?
5. Kako kružnica upisana u trokut utječe na sličnost nastalih figura?

Savjet: U sličnim trokutima, omjer opsega jednak je omjeru odgovarajućih