Math Problem Statement

Triangeln △ABC är rätvinklig med rät vinkel vid hörnet C och vinkel α vid hörnet A . Beräkna a=|BC| , givet att c=|AB|=3 , och att tanα=11/3

Solution

Vi har en rätvinklig triangel △ABC, där vinkeln vid hörnet C är rät (90°), och vinkeln α är vid hörnet A. Vi vet att:

  • c=AB=3c = |AB| = 3
  • tanα=113\tan \alpha = \frac{11}{3}

Målet är att beräkna sidan a=BCa = |BC|.

Lösning

I en rätvinklig triangel gäller trigonometriska funktioner för de olika sidorna:

tanα=motsta˚ende sidana¨rliggande sida\tan \alpha = \frac{\text{motstående sida}}{\text{närliggande sida}}

Här är vinkeln α vid hörnet A, vilket innebär att:

tanα=ab\tan \alpha = \frac{a}{b}

Där a=BCa = |BC| är motstående sidan och b=ACb = |AC| är närliggande sidan. Eftersom vi har tanα=113\tan \alpha = \frac{11}{3}, kan vi uttrycka bb i termer av aa:

ab=113\frac{a}{b} = \frac{11}{3}

b=3a11b = \frac{3a}{11}

Vi använder Pythagoras sats för att relatera sidorna i den rätvinkliga triangeln:

c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2

Substituera b=3a11b = \frac{3a}{11} och c=3c = 3 in i formeln:

32=a2+(3a11)23^2 = a^2 + \left(\frac{3a}{11}\right)^2

9=a2+9a21219 = a^2 + \frac{9a^2}{121}

Multiplicera hela ekvationen med 121 för att eliminera bråket:

1089=121a2+9a21089 = 121a^2 + 9a^2

1089=130a21089 = 130a^2

Nu löser vi för a2a^2:

a2=1089130a^2 = \frac{1089}{130}

a=10891308,382,89a = \sqrt{\frac{1089}{130}} \approx \sqrt{8,38} \approx 2,89

Så längden på sidan aa är ungefär 2,89 enheter.

Sammanfattning

Längden på sidan a=BCa = |BC| är ungefär 2,89 enheter.

Vill du ha fler detaljer eller har några frågor?

Här är några relaterade frågor:

  1. Hur kan vi beräkna sidan b=ACb = |AC| i triangeln?
  2. Vad är värdet av vinkeln α?
  3. Hur påverkar en förändring i längden på sidan cc längden på aa?
  4. Kan vi använda cosinussatsen istället för Pythagoras sats i denna situation?
  5. Hur beräknar man vinkeln β vid hörnet B?
  6. Vad är skillnaden mellan tan, sin och cos i en rätvinklig triangel?
  7. Hur skulle svaret ändras om tan α = 4 istället för 11/3?
  8. Hur använder man trianglar i praktiska tillämpningar, som mätningar av avstånd?

Tips: Använd Pythagoras sats för att hitta förhållanden mellan sidorna i en rätvinklig triangel, särskilt när du har två av sidorna.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Trigonometry
Right triangle properties

Formulas

Pythagorean theorem
Trigonometric ratios

Theorems

Pythagorean theorem

Suitable Grade Level

Grades 10-12