Triangeln △ABC är rätvinklig med rät vinkel vid hörnet C och vinkel α vid hörnet A . Beräkna a=|BC| , givet att c=|AB|=3 , och att tanα=11/3

Vi har en rätvinklig triangel △ABC, där vinkeln vid hörnet C är rät (90°), och vinkeln α är vid hörnet A. Vi vet att:

- \( c = |AB| = 3 \)
- \( \tan \alpha = \frac{11}{3} \)

Målet är att beräkna sidan \( a = |BC| \).

### Lösning

I en rätvinklig triangel gäller trigonometriska funktioner för de olika sidorna:

\[
\tan \alpha = \frac{\text{motstående sida}}{\text{närliggande sida}}
\]

Här är vinkeln α vid hörnet A, vilket innebär att:

\[
\tan \alpha = \frac{a}{b}
\]

Där \( a = |BC| \) är motstående sidan och \( b = |AC| \) är närliggande sidan. Eftersom vi har \( \tan \alpha = \frac{11}{3} \), kan vi uttrycka \( b \) i termer av \( a \):

\[
\frac{a}{b} = \frac{11}{3}
\]

\[
b = \frac{3a}{11}
\]

Vi använder Pythagoras sats för att relatera sidorna i den rätvinkliga triangeln:

\[
c^2 = a^2 + b^2
\]

Substituera \( b = \frac{3a}{11} \) och \( c = 3 \) in i formeln:

\[
3^2 = a^2 + \left(\frac{3a}{11}\right)^2
\]

\[
9 = a^2 + \frac{9a^2}{121}
\]

Multiplicera hela ekvationen med 121 för att eliminera bråket:

\[
1089 = 121a^2 + 9a^2
\]

\[
1089 = 130a^2
\]

Nu löser vi för \( a^2 \):

\[
a^2 = \frac{1089}{130}
\]

\[
a = \sqrt{\frac{1089}{130}} \approx \sqrt{8,38} \approx 2,89
\]

Så längden på sidan \( a \) är ungefär 2,89 enheter.

### Sammanfattning

Längden på sidan \( a = |BC| \) är ungefär 2,89 enheter.

Vill du ha fler detaljer eller har några frågor? 

Här är några relaterade frågor:

1. Hur kan vi beräkna sidan \( b = |AC| \) i triangeln?
2. Vad är värdet av vinkeln α?
3. Hur påverkar en förändring i längden på sidan \( c \) längden på \( a \)?
4. Kan vi använda cosinussatsen istället för Pythagoras sats i denna situation?
5. Hur beräknar man vinkeln β vid hörnet B?
6. Vad är skillnaden mellan tan, sin och cos i en rätvinklig triangel?
7. Hur skulle svaret ändras om tan α = 4 istället för 11/3?
8. Hur använder man trianglar i praktiska tillämpningar, som mätningar av avstånd?

**Tips:** Använd Pythagoras sats för att hitta förhållanden mellan sidorna i en rätvinklig triangel, särskilt när du har två av sidorna.

Learn how to calculate the side length in a right triangle △ABC where angle α is given and side c = 3. Using trigonometric ratios and the Pythagorean theorem, solve for side a = |BC|. Suitable for high school students studying trigonometry and geometry.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation