Para resolver el problema, vamos a denotar las longitudes de los segmentos como sigue:

• $AB = x$
• $BC = y$
• $CD = 30 \, \text{m}$
• $DE = z$

Además, se nos proporcionan las siguientes relaciones:

1. $AB = \frac{BC}{5}$ ⇒ $x = \frac{y}{5}$
2. $AC = \frac{AD}{2}$
3. $DE = \frac{AE}{4}$

Nuestro objetivo es encontrar la longitud de $BE$.

Paso 1: Expresar las relaciones en términos de $x$, $y$, y $z$

Dado que los puntos son consecutivos sobre una recta, podemos escribir:

• $AC = AB + BC = x + y$
• $AD = AB + BC + CD = x + y + 30$
• $AE = AB + BC + CD + DE = x + y + 30 + z$

Usando la relación $x = \frac{y}{5}$, sustituimos en $AC = \frac{AD}{2}$:

$x + y = \frac{x + y + 30}{2}$

Multiplicando ambos lados por 2 para deshacernos del denominador:

$2(x + y) = x + y + 30$

$x + y = 30 \quad \text{(1)}$

Paso 2: Sustituir $x$ en la ecuación

Dado que $x = \frac{y}{5}$, sustituimos en la ecuación (1):

$\frac{y}{5} + y = 30$

Multiplicamos toda la ecuación por 5 para eliminar el denominador:

$y + 5y = 150$

$6y = 150$

$y = \frac{150}{6} = 25 \, \text{m}$

Sustituyendo $y = 25$ en $x = \frac{y}{5}$:

$x = \frac{25}{5} = 5 \, \text{m}$

Paso 3: Calcular $z$ usando la relación $DE = \frac{AE}{4}$

Primero, calculemos $AE$:

$AE = x + y + 30 + z = 5 + 25 + 30 + z = 60 + z$

Luego usamos la relación $DE = \frac{AE}{4}$:

$z = \frac{60 + z}{4}$

Multiplicamos ambos lados por 4:

$4z = 60 + z$

$3z = 60$

$z = 20 \, \text{m}$

Paso 4: Calcular la longitud de $BE$

Finalmente, la longitud de $BE$ es:

$BE = BC + CD + DE = y + 30 + z = 25 + 30 + 20 = 75 \, \text{m}$

Por lo tanto, la longitud del segmento $BE$ es 75 metros.

¿Te gustaría obtener más detalles sobre la solución o tienes alguna otra pregunta?

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo cambiarían las soluciones si $CD$ tuviera una longitud diferente?
2. ¿Qué método alternativo podrías usar para resolver el problema?
3. ¿Qué ocurriría si $A$ y $E$ no estuvieran en la misma recta?
4. ¿Cómo podrías representar gráficamente este problema?
5. ¿Qué otras propiedades de los segmentos podrían ser útiles para resolver problemas similares?

Tip: Cuando trabajes con segmentos consecutivos en una recta, organiza la información en función de las variables que representan las longitudes, y trata de encontrar ecuaciones que conecten estas variables para simplificar el problema.