https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1721313898199l0efao7d.png

A água utilizada em uma residência é captada e bombeada do rio para uma caixa d´água localizada a 60 m de distância da bomba.  Os ângulos formados pelas direções bomba - caixa d´água - residência é de 60° e residência - bomba - caixa d´água é de 75°, conforme mostra a figura abaixo.  Para bombear água do mesmo ponto de captação, diretamente para a residência, quantos metros de tubulação são necessários?  Use √6 = 2,4.

Para resolver o problema, precisamos encontrar o comprimento do segmento \(x\) na figura. Podemos utilizar a Lei dos Cossenos para resolver esse triângulo oblíquo.

A Lei dos Cossenos é dada por:

\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)
\]

onde:
- \(a\) e \(b\) são os lados conhecidos,
- \(C\) é o ângulo oposto ao lado que queremos encontrar,
- \(c\) é o lado que queremos encontrar.

Vamos aplicar a Lei dos Cossenos ao triângulo dado:
- \(a = 60\) metros (bomba à caixa d'água),
- \(b = 60\) metros (bomba à residência),
- \(C = 75^\circ\) (ângulo entre as direções bomba-caixa d'água e residência-bomba).

Portanto, temos:

\[
x^2 = 60^2 + 60^2 - 2 \cdot 60 \cdot 60 \cdot \cos(75^\circ)
\]

Sabemos que:
\[
\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) - \sin(45^\circ)\sin(30^\circ)
\]
\[
\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
\]

Assim,
\[
\cos(75^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)
\]
\[
\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\]

Substituindo \(\cos(75^\circ)\) na fórmula:
\[
x^2 = 3600 + 3600 - 2 \cdot 3600 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\]
\[
x^2 = 7200 - 1800 (\sqrt{6} - \sqrt{2})
\]
Usando \(\sqrt{6} = 2.4\) e \(\sqrt{2} \approx 1.4\):
\[
x^2 = 7200 - 1800 (2.4 - 1.4)
\]
\[
x^2 = 7200 - 1800 (1.0)
\]
\[
x^2 = 7200 - 1800
\]
\[
x^2 = 5400
\]
\[
x = \sqrt{5400}
\]
\[
x = 73.48 \text{ metros}
\]

Portanto, serão necessários aproximadamente 73.48 metros de tubulação para bombear água diretamente do ponto de captação até a residência.

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta?

Aqui estão 5 perguntas que você pode fazer:
1. Como aplicamos a Lei dos Cossenos em outros tipos de triângulos?
2. Como derivar as funções trigonométricas para diferentes ângulos?
3. Qual é a importância de conhecer a Lei dos Senos e dos Cossenos?
4. Pode me explicar a fórmula para calcular a área de um triângulo usando trigonometria?
5. Como resolver problemas envolvendo ângulos e triângulos na vida real?

**Dica:** Para problemas de trigonometria, lembre-se de desenhar um diagrama claro e identificar todos os ângulos e lados conhecidos antes de aplicar as fórmulas.

Learn how to calculate the length of a pipeline using the Law of Cosines with a step-by-step solution. This problem involves trigonometry and the application of angles and distances in a real-world scenario. Suitable for high school students.

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