In un rettangolo la diagonale, che è lunga 4 cm, divide Tangolo retto in due angoli in modo che uno di essi è uguale a 20°. Determina perimetro e area del rettangolo,

Per risolvere questo problema, consideriamo un rettangolo con una diagonale che misura 4 cm. Quando la diagonale divide il rettangolo in due triangoli rettangoli, uno degli angoli acuti del triangolo rettangolo è di 20°. 

### Passi di soluzione:

1. **Determinare l'altro angolo acuto**: 
   - Poiché gli angoli acuti di un triangolo rettangolo devono sommare 90°, l'altro angolo acuto sarà \( 90° - 20° = 70° \).

2. **Identificare i lati del triangolo**:
   - Indichiamo i lati del rettangolo con \( a \) (base) e \( b \) (altezza).
   - L'angolo di 20° è adiacente alla base \( a \) e opposto all'altezza \( b \).

3. **Utilizzo delle funzioni trigonometriche**:
   - Dal triangolo rettangolo, possiamo usare le funzioni trigonometriche per trovare i lati \( a \) e \( b \).
   - Usando il coseno per la base:
     \[
     \cos(20°) = \frac{a}{4}
     \]
     \[
     a = 4 \cdot \cos(20°)
     \]
   - Usando il seno per l'altezza:
     \[
     \sin(20°) = \frac{b}{4}
     \]
     \[
     b = 4 \cdot \sin(20°)
     \]

4. **Calcolare \( a \) e \( b \)**:
   - \( \cos(20°) \approx 0.9397 \)
   - \( \sin(20°) \approx 0.3420 \)
   - Quindi:
     \[
     a = 4 \cdot 0.9397 \approx 3.7588 \, \text{cm}
     \]
     \[
     b = 4 \cdot 0.3420 \approx 1.3680 \, \text{cm}
     \]

5. **Calcolare perimetro e area**:
   - Il **perimetro** del rettangolo è dato da:
     \[
     P = 2(a + b) = 2(3.7588 + 1.3680) \approx 10.2536 \, \text{cm}
     \]
   - L'**area** del rettangolo è:
     \[
     A = a \cdot b = 3.7588 \cdot 1.3680 \approx 5.1398 \, \text{cm}^2
     \]

### Risultati:

- **Perimetro**: circa 10,25 cm.
- **Area**: circa 5,14 cm².

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Ecco alcune domande correlate:
1. Come varia l'area di un rettangolo se la diagonale è fissa, ma l'angolo cambia?
2. Come si calcola la diagonale di un rettangolo dati base e altezza?
3. Quali altre proprietà geometriche si possono dedurre conoscendo la diagonale e un angolo?
4. Come varia il perimetro se si conosce solo la diagonale?
5. Che relazioni trigonometriche si possono usare per calcolare i lati di un triangolo rettangolo?

**Tip**: La conoscenza delle funzioni trigonometriche è molto utile per risolvere problemi geometrici complessi.

Learn how to calculate the perimeter and area of a rectangle when given its diagonal and one angle of a right triangle formed by the diagonal. This problem involves applying trigonometric functions (cosine and sine) to find the sides of the rectangle and compute its perimeter and area. Suitable for high school students.

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