Para resolver este problema, vamos a utilizar la ley de Gauss. La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga neta encerrada en esa superficie:

$\Phi = \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$

Dado que el campo eléctrico $\vec{E}$ está definido por la expresión $\vec{E} = a \, (b + c x)^{-1} \hat{i}$, y que el campo solo tiene una componente en la dirección $x$, podemos integrar el campo en esa dirección para encontrar la carga encerrada en el volumen de la figura.

Paso 1: Datos proporcionados

1. $a = 200 \, \text{N/C}$
2. $b = 200 \, \text{cm} = 2 \, \text{m}$
3. $c = 2$

Las dimensiones de la caja son:

• Largo en $x = 2 \, \text{m}$
• Alto en $z = 1.5 \, \text{m}$
• Profundidad en $y = 1 \, \text{m}$

Paso 2: Calcular el flujo eléctrico

Dado que el campo eléctrico depende solo de $x$, el flujo total a través de la caja será la contribución en las caras perpendiculares al eje $x$ (las caras en $x = 0$ y $x = 2$ m).

La expresión del flujo a través de una cara es: $\Phi = E \cdot A$

Donde $A = 1.5 \, \text{m} \times 1 \, \text{m} = 1.5 \, \text{m}^2$.

Para las caras en $x = 0$ y $x = 2$:

• En $x = 0$: $E(0) = \frac{a}{b} = \frac{200}{2} = 100 \, \text{N/C}$
• En $x = 2$: $E(2) = \frac{a}{b + 2 \cdot c} = \frac{200}{2 + 2 \cdot 2} = \frac{200}{6} = 33.33 \, \text{N/C}$

Entonces, el flujo a través de cada cara es:

• En $x = 0$: $\Phi_0 = E(0) \cdot A = 100 \times 1.5 = 150 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}$
• En $x = 2$: $\Phi_2 = E(2) \cdot A = 33.33 \times 1.5 = 50 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}$

Paso 3: Flujo neto y carga encerrada

El flujo neto es: $\Phi_{\text{neto}} = \Phi_0 - \Phi_2 = 150 - 50 = 100 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}$

Usando la ley de Gauss: $\Phi_{\text{neto}} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} \Rightarrow Q_{\text{enc}} = \Phi_{\text{neto}} \cdot \varepsilon_0$

Con $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, \text{C}^2/\text{N} \cdot \text{m}^2$:

$Q_{\text{enc}} = 100 \times 8.854 \times 10^{-12} = 8.854 \times 10^{-10} \, \text{C}$

Respuesta

La carga neta encerrada en el volumen es aproximadamente: $Q_{\text{enc}} = 8.854 \times 10^{-10} \, \text{C}$

¿Deseas una explicación adicional o tienes alguna pregunta sobre los pasos?

1. ¿Cómo se aplica la ley de Gauss en diferentes configuraciones de simetría?
2. ¿Qué otros métodos existen para calcular el flujo eléctrico?
3. ¿Por qué el flujo neto solo se considera en las caras perpendiculares a la dirección del campo eléctrico?
4. ¿Cómo influye una carga fuera del volumen en el flujo a través de una superficie cerrada?
5. ¿Cómo se define y mide el campo eléctrico en otras unidades?

Tip: La ley de Gauss es especialmente útil para problemas con alta simetría, como esferas, cilindros o planos infinitos, simplificando los cálculos de campo y flujo eléctrico.