Math Problem Statement

Напиши полное решение задачи с картинки На русском языке

Solution

Для решения данного предела limx0ln(1+2x)arcsin(4x3)tg(3x2)sin2(x)\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x) \arcsin(4x^3)}{\tg(3x^2) \sin^2(x)}, сначала рассмотрим каждый элемент функции по отдельности и найдем их поведение при x0x \to 0.

  1. Рассмотрим числитель:

    • ln(1+2x)\ln(1 + 2x) при x0x \to 0 раскладывается в ряд Тейлора: ln(1+2x)2x.\ln(1 + 2x) \approx 2x.
    • arcsin(4x3)\arcsin(4x^3) при x0x \to 0 также можно разложить в ряд Тейлора: arcsin(4x3)4x3.\arcsin(4x^3) \approx 4x^3. Таким образом, числитель: ln(1+2x)arcsin(4x3)2x4x3=8x4.\ln(1 + 2x) \arcsin(4x^3) \approx 2x \cdot 4x^3 = 8x^4.
  2. Рассмотрим знаменатель:

    • tg(3x2)\tg(3x^2) при x0x \to 0 можно аппроксимировать линейной функцией: tg(3x2)3x2.\tg(3x^2) \approx 3x^2.
    • sin2(x)\sin^2(x) при x0x \to 0 приближается к: sin2(x)x2.\sin^2(x) \approx x^2. Таким образом, знаменатель: tg(3x2)sin2(x)3x2x2=3x4.\tg(3x^2) \sin^2(x) \approx 3x^2 \cdot x^2 = 3x^4.
  3. Найдём предел: limx08x43x4=limx083=83.\lim\limits_{x \to 0} \frac{8x^4}{3x^4} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{8}{3} = \frac{8}{3}.

Ответ: limx0ln(1+2x)arcsin(4x3)tg(3x2)sin2(x)=83\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x) \arcsin(4x^3)}{\tg(3x^2) \sin^2(x)} = \frac{8}{3}.

Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите узнать подробности о решении, дайте знать!

Вот 5 вопросов, которые могут вас заинтересовать:

  1. Как используется разложение в ряд Тейлора для нахождения пределов?
  2. Какие ещё методы можно использовать для нахождения пределов?
  3. Каковы условия сходимости рядов Тейлора?
  4. В каких случаях используется правило Лопиталя при нахождении пределов?
  5. Почему важно правильно определять порядок малости функций при x0x \to 0?

Совет: При решении пределов, особенно сложных, всегда полезно сначала разложить функции в ряд Тейлора, чтобы понять их поведение в окрестности рассматриваемой точки.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Limits
Taylor series expansion
Trigonometric functions

Formulas

Taylor series expansion
Limit definition

Theorems

Limit properties

Suitable Grade Level

Advanced undergraduate level