Для решения данного предела $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x) \arcsin(4x^3)}{\tg(3x^2) \sin^2(x)}$, сначала рассмотрим каждый элемент функции по отдельности и найдем их поведение при $x \to 0$.

1. Рассмотрим числитель:

   • $\ln(1 + 2x)$ при $x \to 0$ раскладывается в ряд Тейлора: $\ln(1 + 2x) \approx 2x.$
   • $\arcsin(4x^3)$ при $x \to 0$ также можно разложить в ряд Тейлора: $\arcsin(4x^3) \approx 4x^3.$ Таким образом, числитель: $\ln(1 + 2x) \arcsin(4x^3) \approx 2x \cdot 4x^3 = 8x^4.$

2. Рассмотрим знаменатель:

   • $\tg(3x^2)$ при $x \to 0$ можно аппроксимировать линейной функцией: $\tg(3x^2) \approx 3x^2.$
   • $\sin^2(x)$ при $x \to 0$ приближается к: $\sin^2(x) \approx x^2.$ Таким образом, знаменатель: $\tg(3x^2) \sin^2(x) \approx 3x^2 \cdot x^2 = 3x^4.$

3. Найдём предел: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{8x^4}{3x^4} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{8}{3} = \frac{8}{3}.$

Ответ: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x) \arcsin(4x^3)}{\tg(3x^2) \sin^2(x)} = \frac{8}{3}$.

Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите узнать подробности о решении, дайте знать!

Вот 5 вопросов, которые могут вас заинтересовать:

1. Как используется разложение в ряд Тейлора для нахождения пределов?
2. Какие ещё методы можно использовать для нахождения пределов?
3. Каковы условия сходимости рядов Тейлора?
4. В каких случаях используется правило Лопиталя при нахождении пределов?
5. Почему важно правильно определять порядок малости функций при $x \to 0$?

Совет: При решении пределов, особенно сложных, всегда полезно сначала разложить функции в ряд Тейлора, чтобы понять их поведение в окрестности рассматриваемой точки.