https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1724754717459lpddzf38.jpg

Напиши полное решение задачи с картинки На русском языке

Для решения данного предела \( \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x) \arcsin(4x^3)}{\tg(3x^2) \sin^2(x)} \), сначала рассмотрим каждый элемент функции по отдельности и найдем их поведение при \( x \to 0 \).

1. **Рассмотрим числитель:**
   - \( \ln(1 + 2x) \) при \( x \to 0 \) раскладывается в ряд Тейлора: 
     \[
     \ln(1 + 2x) \approx 2x.
     \]
   - \( \arcsin(4x^3) \) при \( x \to 0 \) также можно разложить в ряд Тейлора:
     \[
     \arcsin(4x^3) \approx 4x^3.
     \]
   Таким образом, числитель:
   \[
   \ln(1 + 2x) \arcsin(4x^3) \approx 2x \cdot 4x^3 = 8x^4.
   \]

2. **Рассмотрим знаменатель:**
   - \( \tg(3x^2) \) при \( x \to 0 \) можно аппроксимировать линейной функцией:
     \[
     \tg(3x^2) \approx 3x^2.
     \]
   - \( \sin^2(x) \) при \( x \to 0 \) приближается к:
     \[
     \sin^2(x) \approx x^2.
     \]
   Таким образом, знаменатель:
   \[
   \tg(3x^2) \sin^2(x) \approx 3x^2 \cdot x^2 = 3x^4.
   \]

3. **Найдём предел:**
   \[
   \lim\limits_{x \to 0} \frac{8x^4}{3x^4} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{8}{3} = \frac{8}{3}.
   \]

**Ответ:** \( \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x) \arcsin(4x^3)}{\tg(3x^2) \sin^2(x)} = \frac{8}{3} \).

Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите узнать подробности о решении, дайте знать! 

Вот 5 вопросов, которые могут вас заинтересовать:
1. Как используется разложение в ряд Тейлора для нахождения пределов?
2. Какие ещё методы можно использовать для нахождения пределов?
3. Каковы условия сходимости рядов Тейлора?
4. В каких случаях используется правило Лопиталя при нахождении пределов?
5. Почему важно правильно определять порядок малости функций при \( x \to 0 \)?

**Совет:** При решении пределов, особенно сложных, всегда полезно сначала разложить функции в ряд Тейлора, чтобы понять их поведение в окрестности рассматриваемой точки.

Learn how to solve the limit \( \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x) \arcsin(4x^3)}{\tg(3x^2) \sin^2(x)} \) using Taylor series expansion and trigonometric approximations. This problem explores the behavior of logarithmic, trigonometric, and inverse trigonometric functions as \( x \) approaches zero.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation