
Opgave 5:
Lad f(x)=1/4 x^4-3x^2+112.
	Bestem væksthastigheden i x_0=2.



For at bestemme væksthastigheden af funktionen \( f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 3x^2 + 112 \) i punktet \( x_0 = 2 \), skal vi finde den afledte funktion \( f'(x) \) og derefter evaluere den ved \( x = 2 \).

### Trin 1: Bestem den afledte funktion \( f'(x) \)
For at finde væksthastigheden differentierer vi \( f(x) \) med hensyn til \( x \):

\[
f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 3x^2 + 112
\]

Den afledte funktion \( f'(x) \) er:

\[
f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}x^4\right) - \frac{d}{dx}\left(3x^2\right) + \frac{d}{dx}(112)
\]

\[
f'(x) = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 6x + 0
\]

\[
f'(x) = x^3 - 6x
\]

### Trin 2: Evaluer \( f'(x) \) ved \( x = 2 \)
Nu kan vi finde væksthastigheden ved at sætte \( x = 2 \) ind i den afledte funktion:

\[
f'(2) = (2)^3 - 6(2)
\]

\[
f'(2) = 8 - 12 = -4
\]

### Resultat
Væksthastigheden af funktionen i \( x_0 = 2 \) er \( f'(2) = -4 \).

Ønsker du yderligere detaljer eller har du spørgsmål?

---

Her er 5 relaterede spørgsmål til at udvide din forståelse:

1. Hvordan ændrer væksthastigheden sig for andre værdier af \( x \) i funktionen \( f(x) \)?
2. Hvad repræsenterer den afledte funktion grafisk?
3. Kan du bestemme, om funktionen \( f(x) \) har ekstrempunkter, og hvor disse ligger?
4. Hvordan ændrer konstantleddet 112 væksthastigheden af funktionen?
5. Hvordan ville væksthastigheden ændres, hvis funktionen havde en anden grad af polynomium?

**Tip:** For at finde maksimum- eller minimumspunkter for en funktion, kan du sætte den afledte funktion lig med nul og løse for \( x \).

Opgave 5: Lad f(x)=1/4 x^4-3x^2+112. Bestem væksthastigheden i x_0=2.

Learn how to determine the growth rate of the polynomial function f(x) = 1/4x^4 - 3x^2 + 112 at the point x = 2 using calculus. This solution covers derivatives and polynomial functions, ideal for students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation