Calcular el gradiente de f(2,-1,2) si f(X,y,z) = xyz - x^2-(x/y)+ 1.

Para calcular el gradiente de \( f(x, y, z) \) en el punto dado \( (2, -1, 2) \), debemos seguir estos pasos:

### Paso 1: Definimos el gradiente
El gradiente de una función \( f(x, y, z) \) está dado por:
\[
\nabla f(x, y, z) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right).
\]

Dado que \( f(x, y, z) = xyz - x^2 - \frac{x}{y} + 1 \), necesitamos calcular cada derivada parcial.

---

### Paso 2: Derivadas parciales
1. **Parcial respecto a \( x \):**
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( xyz - x^2 - \frac{x}{y} + 1 \right)
= yz - 2x - \frac{1}{y}.
\]

2. **Parcial respecto a \( y \):**
\[
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( xyz - x^2 - \frac{x}{y} + 1 \right)
= xz + \frac{x}{y^2}.
\]

3. **Parcial respecto a \( z \):**
\[
\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( xyz - x^2 - \frac{x}{y} + 1 \right)
= xy.
\]

---

### Paso 3: Evaluamos en el punto \( (x, y, z) = (2, -1, 2) \)
1. Sustituimos en \( \frac{\partial f}{\partial x} \):
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = yz - 2x - \frac{1}{y} = (-1)(2) - 2(2) - \frac{1}{-1} = -2 - 4 + 1 = -5.
\]

2. Sustituimos en \( \frac{\partial f}{\partial y} \):
\[
\frac{\partial f}{\partial y} = xz + \frac{x}{y^2} = (2)(2) + \frac{2}{(-1)^2} = 4 + 2 = 6.
\]

3. Sustituimos en \( \frac{\partial f}{\partial z} \):
\[
\frac{\partial f}{\partial z} = xy = (2)(-1) = -2.
\]

---

### Paso 4: Gradiente en \( (2, -1, 2) \)
El gradiente es:
\[
\nabla f(2, -1, 2) = (-5, 6, -2).
\]

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¿Te gustaría más detalles o explicaciones sobre algún paso?  
### Preguntas Relacionadas
1. ¿Qué significa el gradiente geométricamente?
2. ¿Cómo se utiliza el gradiente en optimización?
3. ¿Qué pasa si \( y = 0 \) en la función original?
4. ¿Cómo se extendería este método para una función con más variables?
5. ¿Qué es una derivada direccional y cómo se relaciona con el gradiente?

**Tip:** El gradiente siempre apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función.

Understand how to calculate the gradient of f(x, y, z) = xyz - x^2 - (x/y) + 1 at the point (2, -1, 2). This solution includes step-by-step derivation of partial derivatives and evaluation at the specified point. Ideal for undergraduate students learning vector calculus.

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Paso 1: Definimos el gradiente

Paso 2: Derivadas parciales

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