2.- Determine las series de Fourier de cada f en el intervalo dado: fourier en intervalos

a)	 f(x) = { 0, si –π < x < 0 ;
1, si 0 ≤ x < π }

Para determinar la serie de Fourier de una función \( f(x) \) en un intervalo dado, necesitamos encontrar los coeficientes \( a_0 \), \( a_n \), y \( b_n \) de la serie de Fourier. La serie de Fourier de una función \( f(x) \) periódica de periodo \( 2L \) se expresa como:

\[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right) \]

Dado que \( f(x) \) es una función periódica de periodo \( 2\pi \) en el intervalo \(-\pi < x < \pi\), tenemos \( L = \pi \). La función \( f(x) \) está definida como:

\[ f(x) = \begin{cases} 
0 & \text{si } -\pi < x < 0 \\ 
1 & \text{si } 0 \le x < \pi 
\end{cases} \]

### Cálculo de \( a_0 \):

\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx \]

Dividimos la integral en dos intervalos donde \( f(x) \) es constante:

\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} 0 \, dx + \int_{0}^{\pi} 1 \, dx \right) \]

\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \left( 0 + \pi \right) = 1 \]

### Cálculo de \( a_n \):

\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \]

Nuevamente, dividimos la integral en dos intervalos:

\[ a_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} 0 \cdot \cos(nx) \, dx + \int_{0}^{\pi} 1 \cdot \cos(nx) \, dx \right) \]

\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos(nx) \, dx \]

Para calcular esta integral, usamos la fórmula de integración:

\[ \int \cos(nx) \, dx = \frac{\sin(nx)}{n} \]

Entonces,

\[ a_n = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} \]

Evaluamos en los límites:

\[ a_n = \frac{1}{\pi} \left( \frac{\sin(n\pi)}{n} - \frac{\sin(0)}{n} \right) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{0}{n} = 0 \]

### Cálculo de \( b_n \):

\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \]

Nuevamente, dividimos la integral en dos intervalos:

\[ b_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} 0 \cdot \sin(nx) \, dx + \int_{0}^{\pi} 1 \cdot \sin(nx) \, dx \right) \]

\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx \]

Para calcular esta integral, usamos la fórmula de integración:

\[ \int \sin(nx) \, dx = -\frac{\cos(nx)}{n} \]

Entonces,

\[ b_n = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} \]

Evaluamos en los límites:

\[ b_n = \frac{1}{\pi} \left( -\frac{\cos(n\pi)}{n} - \left( -\frac{\cos(0)}{n} \right) \right) = \frac{1}{\pi} \left( -\frac{(-1)^n}{n} + \frac{1}{n} \right) \]

\[ b_n = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1 - (-1)^n}{n} \]

### Serie de Fourier:

Finalmente, combinamos todos los términos para obtener la serie de Fourier:

\[ f(x) \sim \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 - (-1)^n}{n\pi} \sin(nx) \]

Esta es la serie de Fourier de la función \( f(x) \) en el intervalo \(-\pi < x < \pi\).

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta? Aquí hay algunas preguntas que podrías considerar:

1. ¿Cómo se calcula la serie de Fourier de una función periódica?
2. ¿Qué diferencias hay entre las series de Fourier de funciones pares e impares?
3. ¿Por qué el coeficiente \( a_n \) de la serie de Fourier es cero en este caso?
4. ¿Cómo se derivan las fórmulas para los coeficientes \( a_n \) y \( b_n \)?
5. ¿Qué aplicaciones prácticas tienen las series de Fourier?

**Tip:** Las series de Fourier son muy útiles en la resolución de problemas en ingeniería, física y matemáticas, especialmente para el análisis de señales y sistemas.

Learn how to calculate the Fourier series of the piecewise function f(x) = { 0, if -π < x < 0 ; 1, if 0 ≤ x < π }. Step-by-step solution including the calculation of Fourier coefficients: a0, an, and bn. Suitable for advanced undergraduate students and those interested in mathematical analysis of periodic functions.

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