Para resolver este problema, podemos usar la ecuación de continuidad y la ecuación de Bernoulli, considerando que estamos trabajando con un fluido en movimiento dentro de una jeringa.

Datos dados

1. Densidad relativa de la medicina, $\rho_{\text{rel}} = 1.01$ (esto significa que la densidad real de la medicina, $\rho$, es $\rho = 1.01 \times 1000 \, \text{kg/m}^3 = 1010 \, \text{kg/m}^3$).
2. Sección transversal de la jeringa, $A = 3.1 \, \text{cm}^2 = 3.1 \times 10^{-4} \, \text{m}^2$.
3. Sección transversal de la aguja, $a = \frac{A}{100} = \frac{3.1 \times 10^{-4}}{100} = 3.1 \times 10^{-6} \, \text{m}^2$.
4. Presión sanguínea, $P_{\text{sangre}} = 1.18 \times 10^5 \, \text{Pa}$.
5. Velocidad de la medicina en la aguja, $V = 3.3 \, \text{m/s}$.

Solución

Paso 1: Determinar la velocidad en la jeringa usando la ecuación de continuidad

La ecuación de continuidad para un fluido incomprensible nos dice que:

$A \cdot V_1 = a \cdot V$

donde $V_1$ es la velocidad en la jeringa. Despejamos $V_1$:

$V_1 = \frac{a \cdot V}{A} = \frac{3.1 \times 10^{-6} \times 3.3}{3.1 \times 10^{-4}}$

Calculando $V_1$:

$V_1 = \frac{3.1 \times 10^{-6} \times 3.3}{3.1 \times 10^{-4}} = 0.033 \, \text{m/s}$

Paso 2: Aplicar la ecuación de Bernoulli

Usamos la ecuación de Bernoulli entre la sección de la jeringa y la sección de la aguja:

$P_{\text{jeringa}} + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_{\text{sangre}} + \frac{1}{2} \rho V^2$

De esta ecuación, despejamos $P_{\text{jeringa}}$:

$P_{\text{jeringa}} = P_{\text{sangre}} + \frac{1}{2} \rho (V^2 - V_1^2)$

Sustituyendo los valores conocidos:

$P_{\text{jeringa}} = 1.18 \times 10^5 + \frac{1}{2} \times 1010 \times (3.3^2 - 0.033^2)$

Calculamos cada término por separado:

1. $\frac{1}{2} \times 1010 \times 3.3^2 = 5491.65 \, \text{Pa}$
2. $\frac{1}{2} \times 1010 \times 0.033^2 \approx 0.549 \, \text{Pa}$
3. $5491.65 - 0.549 \approx 5491.1 \, \text{Pa}$

Entonces:

$P_{\text{jeringa}} = 1.18 \times 10^5 + 5491.1 = 1.2349 \times 10^5 \, \text{Pa}$

Paso 3: Calcular la fuerza requerida

La fuerza necesaria para aplicar esta presión en la jeringa es:

$F = P_{\text{jeringa}} \times A$

Sustituyendo:

$F = 1.2349 \times 10^5 \times 3.1 \times 10^{-4}$

Calculando:

$F = 38.29 \, \text{N}$

Respuesta

La fuerza que debe aplicarse para que la velocidad de la medicina sea de 3.3 m/s es aproximadamente $F = 38.29 \, \text{N}$.

¿Te gustaría una explicación detallada de algún paso?

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1. ¿Qué papel juega la ecuación de continuidad en este problema?
2. ¿Cómo afecta la velocidad de la medicina a la presión necesaria en la jeringa?
3. ¿Por qué es importante la densidad de la medicina en este cálculo?
4. ¿Qué otros factores podrían influir en la fuerza necesaria para la inyección?
5. ¿Cómo se podría modificar este cálculo si la densidad de la medicina cambiara?

Tip: Siempre verifica las unidades para asegurar que los cálculos de física sean consistentes.