En un polígono regular, el numero de diagonales es igual a seis veces el número de lados. Determina la medida de su ángulo externo

Para resolver este problema, necesitamos utilizar la relación que existe entre el número de lados de un polígono, el número de diagonales y la medida de los ángulos externos.

### Paso 1: Expresión del número de diagonales
El número de diagonales (\(D\)) en un polígono de \(n\) lados está dado por la fórmula:
\[
D = \frac{n(n-3)}{2}
\]
Nos dicen que el número de diagonales es igual a seis veces el número de lados, es decir:
\[
D = 6n
\]

### Paso 2: Igualar las dos expresiones
Igualamos la fórmula del número de diagonales con la expresión dada en el problema:
\[
\frac{n(n-3)}{2} = 6n
\]

### Paso 3: Resolver la ecuación
Multiplicamos ambos lados por 2 para eliminar el denominador:
\[
n(n-3) = 12n
\]
Expandimos y simplificamos la ecuación:
\[
n^2 - 3n = 12n
\]
\[
n^2 - 15n = 0
\]
Factorizamos la ecuación:
\[
n(n - 15) = 0
\]
Esto nos da dos soluciones:
\[
n = 0 \quad \text{o} \quad n = 15
\]
Como \(n = 0\) no es válido para un polígono, el número de lados es \(n = 15\).

### Paso 4: Calcular la medida del ángulo externo
La medida del ángulo externo de un polígono regular está dada por:
\[
\text{Ángulo Externo} = \frac{360^\circ}{n}
\]
Sustituyendo \(n = 15\):
\[
\text{Ángulo Externo} = \frac{360^\circ}{15} = 24^\circ
\]

### Respuesta:
La medida del ángulo externo del polígono regular es \(24^\circ\).

¿Te gustaría que explique algún paso con más detalle o tienes alguna pregunta? Aquí hay algunas preguntas relacionadas que podrían interesarte:

1. ¿Cómo se calcula el ángulo interno de un polígono regular?
2. ¿Qué es un polígono regular y cómo se diferencia de uno irregular?
3. ¿Cómo se determina el número de diagonales en un polígono irregular?
4. ¿Qué otros problemas se pueden resolver utilizando la fórmula de las diagonales?
5. ¿Cómo se relacionan el número de lados y los ángulos en un polígono regular?

**Tip:** Siempre que trabajes con polígonos regulares, recuerda que la suma de los ángulos externos siempre es \(360^\circ\). Esto puede ayudarte a verificar tu trabajo.

Learn how to calculate the exterior angle of a regular polygon where the number of diagonals is six times the number of sides. Detailed step-by-step solution provided.

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