Da bismo odredili svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore matrice $A$, trebamo riješiti karakterističnu jednačinu:

$\text{det}(A - \lambda I) = 0$

Gdje je $\lambda$ svojstvena vrijednost, $I$ je identična matrica, a $\text{det}(A - \lambda I)$ je determinanta matrice $A - \lambda I$.

Data je matrica $A$:

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$

Matrica $A - \lambda I$ je:

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & -1 \\ -3 & 4-\lambda \end{pmatrix}$

Sada ćemo izračunati determinantu ove matrice:

$\text{det}(A - \lambda I) = (2-\lambda)(4-\lambda) - (-1)(-3)$

Izračunajmo determinantu:

$\text{det}(A - \lambda I) = (2-\lambda)(4-\lambda) - 3$

$\text{det}(A - \lambda I) = 8 - 6\lambda + \lambda^2 - 3$

$\text{det}(A - \lambda I) = \lambda^2 - 6\lambda + 5$

Sada rješavamo kvadratnu jednačinu:

$\lambda^2 - 6\lambda + 5 = 0$

Koristit ćemo kvadratnu formulu $\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, gdje su $a = 1$, $b = -6$, i $c = 5$:

$\lambda = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)}$

$\lambda = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

$\lambda = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}$

$\lambda = \frac{6 \pm 4}{2}$

Dobijamo dva rješenja za $\lambda$:

$\lambda_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5$

$\lambda_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1$

Dakle, svojstvene vrijednosti su $\lambda_1 = 5$ i $\lambda_2 = 1$.

Svojstveni vektori

Sada, za svaku svojstvenu vrijednost, nalazimo svojstveni vektor rješavanjem sustava jednadžbi $(A - \lambda I)\mathbf{v} = 0$.

1. Za $\lambda_1 = 5$:

$A - 5I = \begin{pmatrix} 2-5 & -1 \\ -3 & 4-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$

Rješavamo sustav:

$\begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Jednadžbe su ekvivalentne i možemo uzeti:

$-3x_1 - x_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = -3x_1$

Svojstveni vektor za $\lambda_1 = 5$ je:

$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$

2. Za $\lambda_2 = 1$:

$A - 1I = \begin{pmatrix} 2-1 & -1 \\ -3 & 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}$

Rješavamo sustav:

$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Jednadžbe su također ekvivalentne i možemo uzeti:

$x_1 - x_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = x_2$

Svojstveni vektor za $\lambda_2 = 1$ je:

$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Konačni rezultat:

• Svojstvene vrijednosti: $\lambda_1 = 5$, $\lambda_2 = 1$.
• Svojstveni vektori: $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Želite li dodatna objašnjenja ili imate li kakvih pitanja?

Povezana pitanja:

1. Kako se koriste svojstvene vrijednosti i vektori u dijagonalizaciji matrica?
2. Što znači kada matrica nema svojstvene vrijednosti?
3. Kako se svojstveni vektori koriste u primjenama kao što je analiza glavnih komponenata (PCA)?
4. Može li matrica imati kompleksne svojstvene vrijednosti? Ako da, kako ih računamo?
5. Kako svojstvene vrijednosti matrice utječu na stabilnost linearnih sustava?

Savjet:

Kod rješavanja karakteristične jednačine, uvijek pažljivo provjerite izračun determinante kako biste izbjegli pogreške u daljnjim koracima.