5.4 Es sei X eine Zufallsvariable mit diskreter Gleichverteilung auf der Menge
{−2, −1, 0, 1, 2}. Weiter sei Y = 2X 3 . Berechne E[Y ] und cov(X , Y ).

Um den Erwartungswert \( E[Y] \) und die Kovarianz \( \text{cov}(X, Y) \) zu berechnen, gehen wir schrittweise vor.

### 1. Berechnung des Erwartungswerts \( E[Y] \)
Zunächst bestimmen wir \( E[Y] \), wobei \( Y = 2X^3 \) und \( X \) eine diskrete Gleichverteilung auf der Menge \( \{-2, -1, 0, 1, 2\} \) hat.

Da \( X \) gleichverteilt ist, hat jedes Element die gleiche Wahrscheinlichkeit:
\[
P(X = x_i) = \frac{1}{5}, \quad \text{für } x_i \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}
\]

Die Zufallsvariable \( Y \) kann daher die Werte \( Y = 2X^3 \) annehmen. Berechnen wir die einzelnen Werte von \( Y \):

\[
\begin{aligned}
Y(X = -2) &= 2(-2)^3 = 2(-8) = -16, \\
Y(X = -1) &= 2(-1)^3 = 2(-1) = -2, \\
Y(X = 0) &= 2(0)^3 = 2(0) = 0, \\
Y(X = 1) &= 2(1)^3 = 2(1) = 2, \\
Y(X = 2) &= 2(2)^3 = 2(8) = 16.
\end{aligned}
\]

Der Erwartungswert \( E[Y] \) wird wie folgt berechnet:
\[
E[Y] = \sum_{i=1}^{5} P(X = x_i) \cdot Y(x_i) = \frac{1}{5} \left( -16 + (-2) + 0 + 2 + 16 \right)
\]
\[
E[Y] = \frac{1}{5} \cdot 0 = 0
\]

### 2. Berechnung der Kovarianz \( \text{cov}(X, Y) \)
Die Kovarianz wird mit der Formel berechnet:
\[
\text{cov}(X, Y) = E[XY] - E[X] \cdot E[Y]
\]

Zuerst berechnen wir \( E[XY] \):
\[
E[XY] = \sum_{i=1}^{5} P(X = x_i) \cdot x_i \cdot Y(x_i) = \frac{1}{5} \left( (-2)(-16) + (-1)(-2) + (0)(0) + (1)(2) + (2)(16) \right)
\]
\[
E[XY] = \frac{1}{5} \left( 32 + 2 + 0 + 2 + 32 \right) = \frac{1}{5} \cdot 68 = 13.6
\]

Wir haben bereits \( E[Y] = 0 \) berechnet, und da \( X \) symmetrisch um 0 verteilt ist, gilt \( E[X] = 0 \). Daher ist die Kovarianz:
\[
\text{cov}(X, Y) = 13.6 - 0 \cdot 0 = 13.6
\]

### Zusammenfassung
\[
E[Y] = 0
\]
\[
\text{cov}(X, Y) = 13.6
\]

Möchtest du weitere Details oder hast du Fragen?

Hier sind einige weiterführende Fragen:
1. Wie wird die Varianz einer Zufallsvariable berechnet?
2. Was bedeutet es, wenn die Kovarianz zwischen zwei Zufallsvariablen null ist?
3. Wie könnte man den Erwartungswert und die Kovarianz für eine kontinuierliche Verteilung berechnen?
4. Was ist der Unterschied zwischen Kovarianz und Korrelation?
5. Wie beeinflusst die Symmetrie der Verteilung den Erwartungswert?
6. Was sind die Eigenschaften einer diskreten Gleichverteilung?
7. Wie berechnet man \( E[Y^2] \) in diesem Beispiel?
8. Welche weiteren statistischen Eigenschaften kann man aus den Zufallsvariablen X und Y ableiten?

**Tipp:** Die Kovarianz misst die Richtung der linearen Beziehung zwischen zwei Zufallsvariablen, ist aber abhängig von der Skalierung der Variablen.

Learn how to calculate the expected value E[Y] and covariance cov(X, Y) for a discrete uniform distribution problem. Includes step-by-step calculations and explanations for a clear understanding.

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