Zadanie: Kąt ostry rombu wynosi $60^\circ$, a promień okręgu wpisanego wynosi $2\sqrt{3}$.

Musimy obliczyć:
a) długości przekątnych rombu,
b) długości odcinków, na jakie punkt styczności okręgu dzieli bok rombu.

---

Przydatne oznaczenia:

• $a$ – długość boku rombu,
• $r$ – promień okręgu wpisanego $r = 2\sqrt{3}$,
• $\alpha = 60^\circ$ – miara kąta ostrego rombu,
• $d_1$, $d_2$ – długości przekątnych rombu.

Wpisany okrąg jest styczny do wszystkich boków rombu, a więc jego promień jest równy wysokości rombu opuszczonej na jeden z boków.

---

Krok 1: Wyznaczenie boku rombu $a$

Dla rombu o kącie ostrym $\alpha$ wysokość $h$ (która jest jednocześnie promieniem okręgu wpisanego) wyraża się wzorem: $h = a \cdot \sin\alpha$ Zadane jest, że $r = 2\sqrt{3}$, czyli: $2\sqrt{3} = a \cdot \sin 60^\circ$ Ponieważ $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, podstawiamy: $2\sqrt{3} = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ Mnożymy obustronnie przez 2: $4\sqrt{3} = a \sqrt{3}$ Dzielimy przez $\sqrt{3}$: $a = 4$

---

Krok 2: Obliczenie długości przekątnych $d_1$ i $d_2$

Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy, a ich długości możemy wyznaczyć, korzystając z zależności geometrycznych. Przekątne można obliczyć ze wzorów: $d_1 = a \cdot \sqrt{2(1 + \cos \alpha)}, \quad d_2 = a \cdot \sqrt{2(1 - \cos \alpha)}$ Dla kąta $\alpha = 60^\circ$, mamy $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. Podstawiamy do wzorów.

1. Przekątna $d_1$: $d_1 = 4 \cdot \sqrt{2\left(1 + \frac{1}{2}\right)} = 4 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{3}{2}} = 4 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

2. Przekątna $d_2$: $d_2 = 4 \cdot \sqrt{2\left(1 - \frac{1}{2}\right)} = 4 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1}{2}} = 4 \cdot \sqrt{1} = 4$

---

Krok 3: Obliczenie długości odcinków styczności

Punkt styczności dzieli bok rombu na dwa równe odcinki. Każdy z tych odcinków wynosi: $\text{Długość odcinka} = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2$

---

Odpowiedzi:

a) Długości przekątnych rombu:
$d_1 = 4\sqrt{3}, \quad d_2 = 4$

b) Długości odcinków, na jakie punkt styczności dzieli bok:
$2 \, \text{jednostki}.$

---

Czy masz jakieś pytania? Chcesz, żebym rozwinął któreś z obliczeń?

---

5 Pytania do dalszego zgłębiania tematu:

1. Jakie inne zależności zachodzą między przekątnymi rombu?
2. Jak obliczyć pole rombu przy danych przekątnych?
3. Jak zmienia się promień okręgu wpisanego, gdy zmienia się kąt ostry?
4. Czy romb zawsze ma okrąg wpisany? Kiedy jest to możliwe?
5. Jak obliczyć obwód rombu przy znanych przekątnych?

Porada: Zależność między przekątnymi rombu a jego polem to $P = \frac{1}{2} d_1 d_2$.