Zad.2(4p) 

Kąt ostry rombu ma miarę 
60
stopni
,
 a długość promienia okręgu wpisanego w ten romb wynosi 2
pierwiastki z 3
.
 
 
Oblicz: 

a) długości przekątnych rombu, 

b)długości odcinków, na jakie punkt styczności okręgu z rombem dzieli bok tego rombu. 

 

### Zadanie: Kąt ostry rombu wynosi \(60^\circ\), a promień okręgu wpisanego wynosi \(2\sqrt{3}\).  
Musimy obliczyć:  
**a)** długości przekątnych rombu,  
**b)** długości odcinków, na jakie punkt styczności okręgu dzieli bok rombu.

---

#### Przydatne oznaczenia:
- **\(a\)** – długość boku rombu,
- **\(r\)** – promień okręgu wpisanego \(r = 2\sqrt{3}\),
- **\(\alpha = 60^\circ\)** – miara kąta ostrego rombu,
- **\(d_1\), \(d_2\)** – długości przekątnych rombu.

Wpisany okrąg jest styczny do wszystkich boków rombu, a więc jego promień jest równy wysokości rombu opuszczonej na jeden z boków.

---

### **Krok 1: Wyznaczenie boku rombu \(a\)**

Dla rombu o kącie ostrym \(\alpha\) wysokość \(h\) (która jest jednocześnie promieniem okręgu wpisanego) wyraża się wzorem:
\[
h = a \cdot \sin\alpha
\]
Zadane jest, że \(r = 2\sqrt{3}\), czyli:
\[
2\sqrt{3} = a \cdot \sin 60^\circ
\]
Ponieważ \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), podstawiamy:
\[
2\sqrt{3} = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
Mnożymy obustronnie przez 2:
\[
4\sqrt{3} = a \sqrt{3}
\]
Dzielimy przez \(\sqrt{3}\):
\[
a = 4
\]

---

### **Krok 2: Obliczenie długości przekątnych \(d_1\) i \(d_2\)**

Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy, a ich długości możemy wyznaczyć, korzystając z zależności geometrycznych. Przekątne można obliczyć ze wzorów:
\[
d_1 = a \cdot \sqrt{2(1 + \cos \alpha)}, \quad d_2 = a \cdot \sqrt{2(1 - \cos \alpha)}
\]
Dla kąta \(\alpha = 60^\circ\), mamy \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). Podstawiamy do wzorów.

1. **Przekątna \(d_1\)**:
\[
d_1 = 4 \cdot \sqrt{2\left(1 + \frac{1}{2}\right)} = 4 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{3}{2}} = 4 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}
\]

2. **Przekątna \(d_2\)**:
\[
d_2 = 4 \cdot \sqrt{2\left(1 - \frac{1}{2}\right)} = 4 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{1}{2}} = 4 \cdot \sqrt{1} = 4
\]

---

### **Krok 3: Obliczenie długości odcinków styczności**

Punkt styczności dzieli bok rombu na dwa równe odcinki. Każdy z tych odcinków wynosi:
\[
\text{Długość odcinka} = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2
\]

---

### **Odpowiedzi:**

**a)** Długości przekątnych rombu:  
\[
d_1 = 4\sqrt{3}, \quad d_2 = 4
\]

**b)** Długości odcinków, na jakie punkt styczności dzieli bok:  
\[
2 \, \text{jednostki}.
\]

---

Czy masz jakieś pytania? Chcesz, żebym rozwinął któreś z obliczeń?  

---

### 5 Pytania do dalszego zgłębiania tematu:  
1. Jakie inne zależności zachodzą między przekątnymi rombu?  
2. Jak obliczyć pole rombu przy danych przekątnych?  
3. Jak zmienia się promień okręgu wpisanego, gdy zmienia się kąt ostry?  
4. Czy romb zawsze ma okrąg wpisany? Kiedy jest to możliwe?  
5. Jak obliczyć obwód rombu przy znanych przekątnych?  

**Porada:** Zależność między przekątnymi rombu a jego polem to \(P = \frac{1}{2} d_1 d_2\).

Kąt ostry rombu ma miarę 60 stopni, a długość promienia okręgu wpisanego w ten romb wynosi 2 pierwiastki z 3. Oblicz: a) długości przekątnych rombu, b) długości odcinków, na jakie punkt styczności okręgu z rombem dzieli bok tego rombu.

Learn how to calculate the diagonal lengths and segment lengths in a rhombus with a 60° angle and an inscribed circle radius of 2√3. This geometry problem explores rhombus properties, the use of trigonometry for side and height calculations, and techniques for segment division along the rhombus sides.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation