Ασκηση 3.
Να υπολογισθεί η τιµή της n×n ορίζουσας όταν τα στοιχεία της ai j είναι πραγµατικοί αριθµοί
και δίνονται από τη σχέση
ai j =

n+1 όταν i = j
1 όταν i ̸= j

Η ορίζουσα που περιγράφεται αποτελεί ένα ειδικό τύπο πίνακα, γνωστός ως **πίνακας με συγκεκριμένη διαγώνιο και ίσα εκτός διαγώνιων στοιχεία**. Ο πίνακας αυτός έχει διαγώνια στοιχεία \( n+1 \) και όλα τα υπόλοιπα στοιχεία είναι 1.

### Διατύπωση του πίνακα
Έστω ότι ο πίνακας είναι \( A = [a_{ij}] \), με \( i, j = 1, 2, \dots, n \), όπου τα στοιχεία του δίνονται ως εξής:

\[
a_{ij} =
\begin{cases}
n+1, & \text{όταν} \ i = j \ (\text{δηλαδή στη διαγώνιο}) \\
1, & \text{όταν} \ i \neq j \ (\text{δηλαδή εκτός διαγωνίου})
\end{cases}
\]

### Παράδειγμα του πίνακα για \( n = 3 \):

\[
A =
\begin{bmatrix}
n+1 & 1 & 1 \\
1 & n+1 & 1 \\
1 & 1 & n+1
\end{bmatrix}
\]

### Υπολογισμός της Ορίζουσας

Για να υπολογίσουμε την ορίζουσα ενός τέτοιου πίνακα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε θεωρητικές γνώσεις από την άλγεβρα.

Αυτή η μορφή πίνακα είναι γνωστή ως **πίνακας του κυκλοειδούς τύπου** ή **πίνακας με σταθερές γραμμές/στήλες εκτός της διαγωνίου**. Ο γενικός τύπος για την ορίζουσα αυτού του πίνακα είναι:

\[
\text{det}(A) = (n+1 - 1)^{n-1} \times (n+1 + (n-1))
\]

Επομένως, για τον συγκεκριμένο πίνακα:

\[
\text{det}(A) = n^n
\]

Η ορίζουσα αυτή ισχύει για κάθε τιμή του \( n \), καθώς το μοτίβο του πίνακα διατηρείται σταθερό.

Θέλεις να προχωρήσουμε σε περαιτέρω ανάλυση ή να λύσουμε παραδείγματα με συγκεκριμένες τιμές του \( n \);

### Σχετικές Ερωτήσεις:
1. Ποια είναι η τιμή της ορίζουσας για \( n = 4 \);
2. Πώς θα προσεγγίζατε τη λύση αν τα διαγώνια στοιχεία ήταν διαφορετικά;
3. Πώς θα επηρεάσει την ορίζουσα αν τροποποιηθεί η τιμή των εκτός διαγωνίου στοιχείων;
4. Μπορείς να βρεις έναν πίνακα με άλλον τύπο, που έχει παρόμοια χαρακτηριστικά και να υπολογίσεις την ορίζουσα;
5. Ποια η σημασία του υπολογισμού ορίζουσας στη θεωρία των πινάκων;

### Συμβουλή:
Στην επίλυση ορίζουσων, η χρήση συμμετρίας και προτύπων μπορεί να απλοποιήσει πολύπλοκους υπολογισμούς.

Learn how to calculate the determinant of an n×n matrix where diagonal elements are (n+1) and off-diagonal elements are 1. This problem involves understanding matrix properties and determinant calculation. Suitable for college-level mathematics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation