Η ορίζουσα που περιγράφεται αποτελεί ένα ειδικό τύπο πίνακα, γνωστός ως πίνακας με συγκεκριμένη διαγώνιο και ίσα εκτός διαγώνιων στοιχεία. Ο πίνακας αυτός έχει διαγώνια στοιχεία $n+1$ και όλα τα υπόλοιπα στοιχεία είναι 1.

Διατύπωση του πίνακα

Έστω ότι ο πίνακας είναι $A = [a_{ij}]$, με $i, j = 1, 2, \dots, n$, όπου τα στοιχεία του δίνονται ως εξής:

\begin{cases} n+1, & \text{όταν} \ i = j \ (\text{δηλαδή στη διαγώνιο}) \\ 1, & \text{όταν} \ i \neq j \ (\text{δηλαδή εκτός διαγωνίου}) \end{cases}$$ ### Παράδειγμα του πίνακα για $$n = 3$$: $$A = \begin{bmatrix} n+1 & 1 & 1 \\ 1 & n+1 & 1 \\ 1 & 1 & n+1 \end{bmatrix}$$ ### Υπολογισμός της Ορίζουσας Για να υπολογίσουμε την ορίζουσα ενός τέτοιου πίνακα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε θεωρητικές γνώσεις από την άλγεβρα. Αυτή η μορφή πίνακα είναι γνωστή ως **πίνακας του κυκλοειδούς τύπου** ή **πίνακας με σταθερές γραμμές/στήλες εκτός της διαγωνίου**. Ο γενικός τύπος για την ορίζουσα αυτού του πίνακα είναι: $$\text{det}(A) = (n+1 - 1)^{n-1} \times (n+1 + (n-1))$$ Επομένως, για τον συγκεκριμένο πίνακα: $$\text{det}(A) = n^n$$ Η ορίζουσα αυτή ισχύει για κάθε τιμή του $$n$$, καθώς το μοτίβο του πίνακα διατηρείται σταθερό. Θέλεις να προχωρήσουμε σε περαιτέρω ανάλυση ή να λύσουμε παραδείγματα με συγκεκριμένες τιμές του $$n$$; ### Σχετικές Ερωτήσεις: 1. Ποια είναι η τιμή της ορίζουσας για $$n = 4$$; 2. Πώς θα προσεγγίζατε τη λύση αν τα διαγώνια στοιχεία ήταν διαφορετικά; 3. Πώς θα επηρεάσει την ορίζουσα αν τροποποιηθεί η τιμή των εκτός διαγωνίου στοιχείων; 4. Μπορείς να βρεις έναν πίνακα με άλλον τύπο, που έχει παρόμοια χαρακτηριστικά και να υπολογίσεις την ορίζουσα; 5. Ποια η σημασία του υπολογισμού ορίζουσας στη θεωρία των πινάκων; ### Συμβουλή: Στην επίλυση ορίζουσων, η χρήση συμμετρίας και προτύπων μπορεί να απλοποιήσει πολύπλοκους υπολογισμούς.