El problema consiste en calcular la integral de línea compleja:

$\int_{\gamma} z \exp\left(2z^2 + z\right) \, dz$

donde $\gamma: [0,1] \rightarrow \mathbb{C}$ es una curva definida por $\gamma(t) = t^2 + it$.

1. Comprobación de Holomorfía

La función $f(z) = z \exp(2z^2 + z)$ es una función holomorfa en todo el plano complejo, ya que es la composición de funciones holomorfas: el polinomio $z$, la función exponencial, y la función cuadrática $2z^2 + z$. No presenta singularidades en $\mathbb{C}$.

2. Uso del Principio de Homotopía

El Principio de Homotopía establece que si dos curvas $\gamma_0$ y $\gamma_1$ en un dominio donde una función es holomorfa son homotópicas entre sí (es decir, se pueden deformar continuamente una en la otra sin salir del dominio), entonces la integral de línea de una función holomorfa sobre estas curvas es la misma.

Dado que la función es holomorfa en todo $\mathbb{C}$ y no tiene singularidades, podemos considerar una homotopía trivial entre la curva $\gamma$ y cualquier curva más simple, pero en este caso, simplemente calcularemos la integral a lo largo de $\gamma$.

3. Cálculo de la Integral

Para evaluar la integral, primero determinamos la diferencial $dz$:

$\gamma(t) = t^2 + it \implies \gamma'(t) = 2t + i$

Entonces,

$dz = \gamma'(t) \, dt = (2t + i) \, dt$

Ahora evaluamos la integral:

$\int_{\gamma} z \exp(2z^2 + z) \, dz = \int_0^1 \gamma(t) \exp(2\gamma(t)^2 + \gamma(t)) (2t + i) \, dt$

Sustituyendo $\gamma(t)$ y simplificando, se puede resolver la integral. Sin embargo, como la función exponencial compuesta puede resultar compleja, en muchos casos se puede recurrir a métodos numéricos para la evaluación exacta.

Conclusión

La función $z \exp(2z^2 + z)$ es holomorfa en todo $\mathbb{C}$, y la integral de línea es bien definida en la curva $\gamma$. Para obtener el valor exacto, es recomendable usar métodos numéricos o software matemático para la integración.

¿Te gustaría que resolviera el cálculo numérico o tienes alguna otra duda?

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Tip

Al calcular integrales de línea en el plano complejo, es fundamental verificar primero si la función es holomorfa en el dominio de integración. Esto puede simplificar mucho el proceso y asegurar que la integral sea bien definida.