Para resolver a combinação $C(15,3)$, também conhecida como combinação de 15 elementos tomados 3 a 3, usamos a fórmula de combinações:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

No caso, $n = 15$ e $k = 3$. Vamos aplicar esses valores na fórmula:

$C(15, 3) = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3! \cdot 12!}$

Sabemos que $15! = 15 \times 14 \times 13 \times 12!$. Assim, podemos simplificar a expressão:

$C(15, 3) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12!}{3! \times 12!}$

Como $12!$ está presente no numerador e no denominador, eles se cancelam, restando:

$C(15, 3) = \frac{15 \times 14 \times 13}{3!}$

E sabemos que $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$. Portanto:

$C(15, 3) = \frac{15 \times 14 \times 13}{6}$

Agora, vamos calcular o valor:

$15 \times 14 = 210$ $210 \times 13 = 2730$

Então:

$C(15, 3) = \frac{2730}{6} = 455$

Portanto, $C(15, 3) = 455$.

Se precisar de mais detalhes ou tiver alguma dúvida, estou à disposição. Aqui estão algumas perguntas que você pode fazer:

1. Como resolver outras combinações, como $C(10, 4)$?
2. Qual é a diferença entre combinação e permutação?
3. Pode explicar o conceito de fatorial e como ele é usado em cálculos de combinações?
4. Como resolver combinações com valores maiores, como $C(20, 5)$?
5. Qual é a aplicação prática das combinações em problemas do mundo real?

Dica: Ao trabalhar com combinações e permutações, é útil estar familiarizado com os fatoriais e entender como simplificar as expressões para facilitar os cálculos.