Para resolver el punto $b$, necesitamos calcular el área de la región delimitada por la función $f(x) = \cos x$ entre las rectas verticales $x = -\pi$ y $x = \pi$.

El área bajo la curva $f(x) = \cos x$ desde $x = -\pi$ hasta $x = \pi$ se puede calcular mediante la integral definida:

$\text{Área} = \int_{-\pi}^{\pi} \cos x \, dx$

Resolución de la Integral

1. Integral de $\cos x$:

   Sabemos que: $\int \cos x \, dx = \sin x$

2. Evaluación en los límites $x = -\pi$ y $x = \pi$:

   $\text{Área} = \left[ \sin x \right]_{-\pi}^{\pi} = \sin(\pi) - \sin(-\pi)$

3. Cálculo de valores específicos:

   $\sin(\pi) = 0 \quad \text{y} \quad \sin(-\pi) = 0$

   Por lo tanto, $\text{Área} = 0 - 0 = 0$

Interpretación

El resultado de la integral es cero debido a la simetría de la función $\cos x$ entre $x = -\pi$ y $x = \pi$, ya que el área positiva sobre el eje $x$ entre $-\pi$ y $0$ se cancela con el área negativa entre $0$ y $\pi$.

Área Absoluta

Si buscamos el área total sin considerar los signos (es decir, el área absoluta), integramos el valor absoluto de $\cos x$:

$\text{Área Total} = 2 \int_{0}^{\pi} |\cos x| \, dx = 2 \int_{0}^{\pi} \cos x \, dx = 2 \sin x \Big|_{0}^{\pi} = 2 (0 - 0) = 0$

En este caso, sin embargo, el área total también resulta en $0$.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre el cálculo?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para profundizar en el tema:

1. ¿Qué significa la simetría de la función $\cos x$ en el cálculo de áreas?
2. ¿Cómo afecta el uso de límites simétricos en la integral de una función impar?
3. ¿Qué sucede si cambiamos los límites a un intervalo donde $\cos x$ es positivo o negativo?
4. ¿Cuál es la diferencia entre calcular el área neta y el área absoluta de una función?
5. ¿Cómo se podría interpretar geométricamente un área neta de $0$?

Tip: Al trabajar con funciones periódicas como $\cos x$, observar la simetría puede simplificar mucho el cálculo de integrales.