gambarkan dan hitung luas daerah yang dibatasi oleh y = x² dan y = x+2

Kita diminta untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva, yaitu \( y = x^2 \) dan \( y = x + 2 \).

### Langkah 1: Cari titik potong kedua kurva
Untuk menentukan batas integral, kita perlu mengetahui titik potong antara kedua kurva. Caranya adalah menyamakan kedua persamaan:
\[
x^2 = x + 2
\]
Pindahkan semua ke satu sisi:
\[
x^2 - x - 2 = 0
\]
Faktorkan persamaan kuadrat:
\[
(x - 2)(x + 1) = 0
\]
Jadi, \( x = 2 \) dan \( x = -1 \).

Dengan demikian, kedua kurva berpotongan di \( x = -1 \) dan \( x = 2 \).

### Langkah 2: Tentukan luas daerah
Luas daerah yang dibatasi oleh kedua kurva dapat dihitung menggunakan integral, yaitu dengan mengintegralkan selisih antara fungsi atas dan fungsi bawah. Dalam hal ini, \( y = x + 2 \) berada di atas dan \( y = x^2 \) di bawah antara titik potong \( x = -1 \) dan \( x = 2 \).

Luas daerah diberikan oleh:
\[
\text{Luas} = \int_{-1}^{2} [(x + 2) - x^2] \, dx
\]

### Langkah 3: Hitung integral
Sekarang, kita hitung integral tersebut:
\[
\text{Luas} = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) \, dx
\]
Pecahkan menjadi tiga integral terpisah:
\[
\text{Luas} = \int_{-1}^{2} x \, dx + \int_{-1}^{2} 2 \, dx - \int_{-1}^{2} x^2 \, dx
\]

1. \( \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \)
2. \( \int 2 \, dx = 2x \)
3. \( \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \)

Sekarang substitusi batas-batas integral:

\[
\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{2} + \left[ 2x \right]_{-1}^{2} - \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}
\]

### Perhitungan masing-masing:

1. \( \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{2} = \left( \frac{2^2}{2} \right) - \left( \frac{(-1)^2}{2} \right) = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \)
2. \( \left[ 2x \right]_{-1}^{2} = 2(2) - 2(-1) = 4 + 2 = 6 \)
3. \( \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} = \left( \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} \right) = \frac{8}{3} - \left( \frac{-1}{3} \right) = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3 \)

Sekarang hitung totalnya:
\[
\text{Luas} = \frac{3}{2} + 6 - 3 = \frac{3}{2} + 3 = \frac{9}{2} = 4.5
\]

### Kesimpulan:
Luas daerah yang dibatasi oleh \( y = x^2 \) dan \( y = x + 2 \) adalah \( 4.5 \) satuan luas.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau ada pertanyaan?

Berikut 5 pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara menentukan kurva yang berada di atas atau di bawah?
2. Apa langkah-langkah umum dalam menghitung luas antara dua kurva?
3. Bagaimana jika kurva tidak berpotongan? Apa yang harus dilakukan?
4. Bagaimana cara menangani kurva yang melibatkan akar atau trigonometri?
5. Apakah metode lain bisa digunakan untuk menghitung luas selain integral?

**Tip**: Saat menghitung luas antara kurva, pastikan kurva yang berada di atas dan di bawah jelas untuk menghindari hasil negatif pada integral.

Learn how to calculate the area between the curves y = x² and y = x + 2. This problem involves finding the intersection points and solving integrals to determine the area. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation