Para encontrar el área entre las dos curvas $y = 5x - x^2$ y $y = x$, necesitamos:

1. Determinar los puntos de intersección entre las dos funciones.
2. Integrar la diferencia de las funciones entre los límites dados por los puntos de intersección.

1. Encuentra los puntos de intersección:

Igualamos las funciones para encontrar los valores de $x$: $5x - x^2 = x$ Reorganizamos: $-x^2 + 5x - x = 0 \quad \Rightarrow \quad -x^2 + 4x = 0$ Factorizamos: $x(-x + 4) = 0$ De aquí, los puntos de intersección son: $x = 0 \quad \text{y} \quad x = 4$

Verificamos los valores de $y$ sustituyendo $x$ en cualquiera de las funciones:

• Cuando $x = 0$, $y = 0$.
• Cuando $x = 4$, $y = 4$.

Por lo tanto, los puntos de intersección son $(0, 0)$ y $(4, 4)$.

2. Integra la diferencia de las funciones:

El área entre las curvas se calcula como: $A = \int_a^b \left[ f(x) - g(x) \right] \, dx$ Donde $f(x) = 5x - x^2$ (la curva superior) y $g(x) = x$ (la curva inferior).

Entonces: $A = \int_0^4 \left[ (5x - x^2) - x \right] \, dx$ Simplificamos la expresión dentro del integrando: [ A = \int_0^4 \left[ 5x - x^2 - x \right] , dx = \int_0^4 \left[ 4x - x^2 \right] , dx ]

Calculamos la integral: $\int \left[ 4x - x^2 \right] dx = \int 4x \, dx - \int x^2 \, dx$ $= 2x^2 - \frac{x^3}{3} + C$

Evaluamos los límites en $[0, 4]$: $A = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^4$ Sustituimos $x = 4$: $A = \left( 2(4^2) - \frac{(4)^3}{3} \right) - \left( 2(0^2) - \frac{(0)^3}{3} \right)$ $A = \left( 2(16) - \frac{64}{3} \right) - 0$ $A = \left( 32 - \frac{64}{3} \right)$ $A = \frac{96}{3} - \frac{64}{3} = \frac{32}{3}$

Respuesta final:

El área entre las dos curvas es: $A = \frac{32}{3} \quad \text{unidades cuadradas.}$

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Tip: Al integrar diferencias de funciones, asegúrate de identificar correctamente cuál es la función superior para evitar áreas negativas.