Para encontrar el ángulo que forman los vectores $\mathbf{w}$ y $\mathbf{v}$, podemos seguir estos pasos:

1. Información dada:

• $\mathbf{u}$ es unitario: $\|\mathbf{u}\| = 1$
• $\|\mathbf{v}\| = 6$
• $\mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = -2$
• $\mathbf{w} = 4(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) - \mathbf{v}$

2. Determinar el vector $\mathbf{w}$:

El vector $\mathbf{w}$ se define como:

$\mathbf{w} = 4(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) - \mathbf{v}$

3. Calcular el ángulo entre $\mathbf{w}$ y $\mathbf{v}$:

El ángulo $\theta$ entre dos vectores $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ se puede encontrar usando la siguiente fórmula basada en el producto punto:

$\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}$

En este caso, debemos calcular el producto punto $\mathbf{w} \cdot \mathbf{v}$ y las normas de $\mathbf{w}$ y $\mathbf{v}$.

4. Producto punto $\mathbf{w} \cdot \mathbf{v}$:

Expresamos $\mathbf{w}$:

$\mathbf{w} \cdot \mathbf{v} = [4(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) - \mathbf{v}] \cdot \mathbf{v} = 4(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{v} - \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}$

Nota importante: El producto punto de un vector con un producto cruzado donde el vector aparece de nuevo es siempre 0 porque el producto cruzado $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ es perpendicular tanto a $\mathbf{u}$ como a $\mathbf{v}$. Así que:

$(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{v} = 0$

Por lo tanto, el producto punto se simplifica a:

$\mathbf{w} \cdot \mathbf{v} = -\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = -\|\mathbf{v}\|^2 = -6^2 = -36$

5. Calcular la norma de $\mathbf{w}$:

Para calcular $\|\mathbf{w}\|$, necesitamos primero la norma del producto cruzado:

$\|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\| = \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \sin \theta = 1 \cdot 6 \cdot \sin \theta = 6\sin \theta$

Entonces:

$\|\mathbf{w}\| = \|4(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) - \mathbf{v}\| = \sqrt{\|4(\mathbf{u} \times \mathbf{v})\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2}$

$= \sqrt{(4 \cdot 6\sin \theta)^2 + 36} = \sqrt{576 \sin^2 \theta + 36}$

6. Ángulo entre $\mathbf{w}$ y $\mathbf{v}$:

Finalmente, calculamos $\cos \theta$:

$\cos \theta = \frac{-36}{\|\mathbf{w}\| \cdot 6} = \frac{-36}{6 \cdot \sqrt{576 \sin^2 \theta + 36}}$

$\mathbf{w} \cdot \mathbf{v}$ es negativo, lo que indica que el ángulo entre ellos es mayor a 90 grados. En este caso, $\cos \theta$ es negativo. Para simplificar el cálculo, podemos asumir valores específicos de $\sin \theta$ dependiendo del contexto, pero en general se obtiene:

$\cos \theta = -1 \implies \theta = \arccos\left(\frac{-36}{6 \cdot \sqrt{576 \sin^2 \theta + 36}}\right)$

Resultado final:

El ángulo $\theta$ es mayor de $90^\circ$, pero se puede determinar con precisión si se conocen más detalles de $\sin \theta$ en el producto cruzado.

¿Tienes alguna duda o te gustaría más detalles sobre algún paso?

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1. ¿Qué es el producto cruzado y cómo se usa en problemas de vectores?
2. ¿Cómo se determina si dos vectores son perpendiculares usando el producto punto?
3. ¿Qué sucede si los vectores $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ son paralelos?
4. ¿Cómo afecta la longitud de un vector al cálculo de productos?
5. ¿Cuáles son las propiedades de un vector unitario?

Tip: El producto cruzado de dos vectores es perpendicular a ambos vectores originales, lo que resulta útil para calcular áreas y volúmenes en geometría tridimensional.