[0.6] Dados los vectores no paralelos 𝑢⃗ y 𝑣 en ℝ3 , tales que 𝑣 ·𝑢⃗ =−2, 𝑢⃗ es

unitario y ‖𝑣 ‖ = 6. Sea 𝑤⃗⃗ = 4(𝑢⃗ × 𝑣 ) − 𝑣 , calcular el ángulo que forman 𝑤⃗⃗ y

𝑣 .

Para encontrar el ángulo que forman los vectores \(\mathbf{w}\) y \(\mathbf{v}\), podemos seguir estos pasos:

### 1. Información dada:
- \(\mathbf{u}\) es unitario: \(\|\mathbf{u}\| = 1\)
- \(\|\mathbf{v}\| = 6\)
- \(\mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = -2\)
- \(\mathbf{w} = 4(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) - \mathbf{v}\)

### 2. Determinar el vector \(\mathbf{w}\):

El vector \(\mathbf{w}\) se define como:

\[
\mathbf{w} = 4(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) - \mathbf{v}
\]

### 3. Calcular el ángulo entre \(\mathbf{w}\) y \(\mathbf{v}\):

El ángulo \(\theta\) entre dos vectores \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\) se puede encontrar usando la siguiente fórmula basada en el producto punto:

\[
\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}
\]

En este caso, debemos calcular el producto punto \(\mathbf{w} \cdot \mathbf{v}\) y las normas de \(\mathbf{w}\) y \(\mathbf{v}\).

### 4. Producto punto \(\mathbf{w} \cdot \mathbf{v}\):

Expresamos \(\mathbf{w}\):

\[
\mathbf{w} \cdot \mathbf{v} = [4(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) - \mathbf{v}] \cdot \mathbf{v} = 4(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{v} - \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}
\]

**Nota importante:** El producto punto de un vector con un producto cruzado donde el vector aparece de nuevo es siempre 0 porque el producto cruzado \(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) es perpendicular tanto a \(\mathbf{u}\) como a \(\mathbf{v}\). Así que:

\[
(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{v} = 0
\]

Por lo tanto, el producto punto se simplifica a:

\[
\mathbf{w} \cdot \mathbf{v} = -\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = -\|\mathbf{v}\|^2 = -6^2 = -36
\]

### 5. Calcular la norma de \(\mathbf{w}\):

Para calcular \(\|\mathbf{w}\|\), necesitamos primero la norma del producto cruzado:

\[
\|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\| = \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \sin \theta = 1 \cdot 6 \cdot \sin \theta = 6\sin \theta
\]

Entonces:

\[
\|\mathbf{w}\| = \|4(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) - \mathbf{v}\| = \sqrt{\|4(\mathbf{u} \times \mathbf{v})\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2} 
\]

\[
= \sqrt{(4 \cdot 6\sin \theta)^2 + 36} = \sqrt{576 \sin^2 \theta + 36}
\]

### 6. Ángulo entre \(\mathbf{w}\) y \(\mathbf{v}\):

Finalmente, calculamos \(\cos \theta\):

\[
\cos \theta = \frac{-36}{\|\mathbf{w}\| \cdot 6} = \frac{-36}{6 \cdot \sqrt{576 \sin^2 \theta + 36}}
\]

\(\mathbf{w} \cdot \mathbf{v}\) es negativo, lo que indica que el ángulo entre ellos es mayor a 90 grados. En este caso, \(\cos \theta\) es negativo. Para simplificar el cálculo, podemos asumir valores específicos de \(\sin \theta\) dependiendo del contexto, pero en general se obtiene:

\[
\cos \theta = -1 \implies \theta = \arccos\left(\frac{-36}{6 \cdot \sqrt{576 \sin^2 \theta + 36}}\right)
\]

### Resultado final:

El ángulo \(\theta\) es mayor de \(90^\circ\), pero se puede determinar con precisión si se conocen más detalles de \(\sin \theta\) en el producto cruzado.

¿Tienes alguna duda o te gustaría más detalles sobre algún paso?

---

1. ¿Qué es el producto cruzado y cómo se usa en problemas de vectores?
2. ¿Cómo se determina si dos vectores son perpendiculares usando el producto punto?
3. ¿Qué sucede si los vectores \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) son paralelos?
4. ¿Cómo afecta la longitud de un vector al cálculo de productos?
5. ¿Cuáles son las propiedades de un vector unitario?

**Tip:** El producto cruzado de dos vectores es perpendicular a ambos vectores originales, lo que resulta útil para calcular áreas y volúmenes en geometría tridimensional.

Learn how to calculate the angle between vectors w and v in 3D space using dot product and cross product formulas. This problem involves vectors u and v with specific properties such as unit vector and magnitude, and w vector derived from u and v. Suitable for college-level students.

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