Обчислити кут між прямими (x-4)/(-3)=(y+1)/5 та 2x-y+9=0

Для обчислення кута між прямими, заданими параметричним рівнянням і загальним рівнянням, спершу визначимо їхні напрямні коефіцієнти.

### Крок 1: Знайдемо напрямний коефіцієнт першої прямої

Перша пряма задана рівнянням:
\[
\frac{x - 4}{-3} = \frac{y + 1}{5}
\]

Це можна записати у вигляді параметричного рівняння:
\[
x = 4 - 3t, \quad y = -1 + 5t
\]

З цього рівняння видно, що напрямний вектор першої прямої \(\mathbf{v}_1 = (-3, 5)\). Щоб знайти напрямний коефіцієнт, обчислимо його як тангенс кута між напрямним вектором і віссю \(x\):
\[
k_1 = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3}
\]

### Крок 2: Знайдемо напрямний коефіцієнт другої прямої

Друга пряма задана рівнянням у загальній формі:
\[
2x - y + 9 = 0
\]

Це можна переписати у вигляді \(y = 2x + 9\), отже напрямний коефіцієнт цієї прямої:
\[
k_2 = 2
\]

### Крок 3: Обчислимо кут між прямими

Формула для знаходження кута \(\theta\) між двома прямими з відомими напрямними коефіцієнтами \(k_1\) і \(k_2\) наступна:
\[
\tan \theta = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|
\]

Підставимо знайдені значення \(k_1 = -\frac{5}{3}\) і \(k_2 = 2\):
\[
\tan \theta = \left| \frac{2 - \left(-\frac{5}{3}\right)}{1 + \left(-\frac{5}{3}\right) \cdot 2} \right|
\]
\[
\tan \theta = \left| \frac{2 + \frac{5}{3}}{1 - \frac{10}{3}} \right|
\]
\[
\tan \theta = \left| \frac{\frac{6}{3} + \frac{5}{3}}{1 - \frac{10}{3}} \right|
\]
\[
\tan \theta = \left| \frac{\frac{11}{3}}{\frac{3 - 10}{3}} \right|
\]
\[
\tan \theta = \left| \frac{\frac{11}{3}}{-\frac{7}{3}} \right|
\]
\[
\tan \theta = \left| -\frac{11}{7} \right| = \frac{11}{7}
\]

### Крок 4: Обчислимо сам кут

Оскільки \(\tan \theta = \frac{11}{7}\), знаходимо \(\theta\) як арктангенс цього значення:
\[
\theta = \arctan\left(\frac{11}{7}\right)
\]

Отже, кут між прямими приблизно дорівнює \(\arctan\left(\frac{11}{7}\right)\).

Якщо вам потрібні додаткові розрахунки або пояснення, будь ласка, дайте знати!

---

**Питання для подальшого розгляду:**

1. Як знайти точку перетину двох прямих?
2. Що таке напрямний вектор прямої, і як його визначити з рівняння прямої?
3. Як змінюється кут між прямими, якщо одна з них паралельна осі \(x\)?
4. Як обчислити кут між прямими, якщо вони задані у векторній формі?
5. Які ще існують методи для знаходження кута між двома прямими?

**Порада:** Завжди намагайтеся перевести рівняння прямої у загальний вигляд \(y = kx + b\) або параметричну форму для спрощення обчислень і аналізу.

Learn how to calculate the angle between two lines using analytical geometry methods. This problem involves finding the direction coefficients of two given lines and applying the formula to determine the angle between them. Suitable for higher education level students and anyone interested in analytical geometry.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation