行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 2 \end{pmatrix}$ について、固有ベクトルと対角行列を用いて $A^3 - 5A^2 + nA$ を求めるために、以下の手順を踏みます。

1. 固有値と固有ベクトルの計算

まず、行列 $A$ の固有値を求めます。行列 $A$ の固有値 $\lambda$ は、次の固有方程式の解として得られます。

$\det(A - \lambda I) = 0$

この固有方程式を解いて、固有値を求めます。それに対応する固有ベクトルを計算します。

2. 行列 $A$ の対角化

行列 $A$ を対角化すると、行列 $A$ は以下の形に表せます。

$A = P D P^{-1}$

ここで、$D$ は対角行列で、対角成分が $A$ の固有値となります。また、$P$ は対応する固有ベクトルを列に持つ行列です。

3. 行列 $A^3 - 5A^2 + nA$ の計算

行列 $A$ の対角化を用いると、任意の多項式関数 $f(A)$ は次のように計算できます。

$f(A) = P f(D) P^{-1}$

具体的には、$f(A) = A^3 - 5A^2 + nA$ について、$f(D)$ を計算し、それを使って $f(A)$ を求めます。

これらの手順に従って計算を行います。まずは固有値と固有ベクトルを計算し、次に行列 $A$ を対角化します。最終的に $A^3 - 5A^2 + nA$ を求めます。

これから計算を実行します。計算の結果、行列 $A^3 - 5A^2 + nA$ は次のようになります：

-4 & n - 2 & n + 2 \\ n & 2n & n \\ 3n + 4 & 5n + 2 & 2n - 2 \end{pmatrix}$$ この行列は、定数 $$n$$ に依存しており、$$n$$ の値によって具体的な数値が決まります。 もし、さらに詳細な説明や特定の $$n$$ の値での計算を希望される場合は、お知らせください。 ### 追加の質問 1. 固有値と固有ベクトルの具体的な値は知りたいですか？ 2. $$n$$ の特定の値を使った具体的な計算が必要ですか？ 3. 行列の対角化のステップに興味がありますか？ 4. 対角行列を使った他の行列演算の例を見てみたいですか？ 5. 対角化が行列の計算をどのように効率化するかに興味がありますか？ ### Tip 行列の対角化を利用すると、行列のべき乗などの計算が大幅に簡略化され、特に大規模な行列において計算コストが大幅に削減されます。