Untuk menyelesaikan soal ini menggunakan Teorema Fermat Kecil, mari kita lihat langkah-langkahnya.

Soal yang diberikan adalah: $\left(5^{2017} \mod 7 + 5^{2017} \mod 11\right) \mod 7$

Langkah 1: Teorema Fermat Kecil

Teorema Fermat Kecil menyatakan bahwa jika $p$ adalah bilangan prima dan $a$ adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi $p$, maka: $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$

Ini berarti untuk $a = 5$:

1. $5^{6} \equiv 1 \pmod{7}$ karena $p = 7$.
2. $5^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ karena $p = 11$.

Langkah 2: Menghitung $5^{2017} \mod 7$

Karena $5^{6} \equiv 1 \pmod{7}$, kita dapat menyederhanakan eksponen $2017 \mod 6$ untuk mencari sisa pembagian eksponen oleh 6.

$2017 \mod 6 = 1$

Jadi: $5^{2017} \equiv 5^{1} \equiv 5 \pmod{7}$

Langkah 3: Menghitung $5^{2017} \mod 11$

Karena $5^{10} \equiv 1 \pmod{11}$, kita dapat menyederhanakan eksponen $2017 \mod 10$ untuk mencari sisa pembagian eksponen oleh 10.

$2017 \mod 10 = 7$

Jadi: $5^{2017} \equiv 5^{7} \pmod{11}$

Sekarang, kita hitung $5^{7} \mod 11$: $5^2 = 25 \equiv 3 \pmod{11}$ $5^4 = 3^2 = 9 \pmod{11}$ $5^6 = 9 \cdot 3 = 27 \equiv 5 \pmod{11}$ $5^7 = 5 \cdot 5 = 25 \equiv 3 \pmod{11}$

Jadi: $5^{2017} \equiv 3 \pmod{11}$

Langkah 4: Menggabungkan Hasil

Sekarang kita punya: $5^{2017} \mod 7 = 5$ $5^{2017} \mod 11 = 3$

Sehingga: $(5 + 3) \mod 7 = 8 \mod 7 = 1$

Jawaban Akhir

$\left(5^{2017} \mod 7 + 5^{2017} \mod 11\right) \mod 7 = 1$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?

Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menggunakan Teorema Fermat Kecil pada basis selain 5?
2. Apa yang terjadi jika modulusnya bukan bilangan prima, misalnya 8?
3. Bagaimana menyederhanakan perhitungan untuk eksponen yang sangat besar tanpa kalkulator?
4. Apa perbedaan antara Teorema Fermat Kecil dan Teorema Euler?
5. Mengapa penting mengetahui modulus dalam teori bilangan?

Tip: Untuk eksponen besar, cari pola pada hasil pangkat kecil untuk menghindari perhitungan panjang.