In  una  regione  di  spazio,  riferita  a  un  sistema  di  assi  cartesiani  ortogonali  dove  l’unità  di  misura  sui  tre  assi  x, y, z è il metro, è presente un campo elettrico uniforme Eur(2k,−k, 2k) con k = 2,50 ⋅  104 N/C. Considera il piano di equazione 2x – 3y + 6z – 17 = 0 e un quadrato che giace su tale piano, avente lato di misura 7,00 m. Determina il f lus-so del campo elettrico Eur attraverso la superficie del quadrato. non usare gli integrali, in italiano

Per determinare il flusso del campo elettrico uniforme \(\mathbf{E} = (2k, -k, 2k)\), con \(k = 2,50 \cdot 10^4 \, \text{N/C}\), attraverso la superficie del quadrato che giace sul piano di equazione \(2x - 3y + 6z - 17 = 0\), seguiamo i passaggi seguenti:

### 1. Determinazione del campo elettrico
Il vettore del campo elettrico è dato da:

\[
\mathbf{E} = (2k, -k, 2k) = (2 \cdot 2,50 \cdot 10^4, -2,50 \cdot 10^4, 2 \cdot 2,50 \cdot 10^4) \, \text{N/C}
\]

Calcolando i valori di \(k\):

\[
\mathbf{E} = (5,00 \cdot 10^4, -2,50 \cdot 10^4, 5,00 \cdot 10^4) \, \text{N/C}
\]

### 2. Vettore normale al piano
Per trovare il vettore normale \(\mathbf{n}\) al piano di equazione \(2x - 3y + 6z - 17 = 0\), possiamo utilizzare i coefficienti \(a\), \(b\), \(c\) dell'equazione del piano. Il vettore normale è quindi:

\[
\mathbf{n} = (2, -3, 6)
\]

### 3. Area del quadrato
Il quadrato ha un lato di \(7,00 \, \text{m}\). Quindi, l'area \(A\) del quadrato è:

\[
A = 7,00 \, \text{m} \times 7,00 \, \text{m} = 49,0 \, \text{m}^2
\]

### 4. Vettore normale unitario \(\hat{\mathbf{n}}\)
Il vettore normale unitario \(\hat{\mathbf{n}}\) si ottiene normalizzando \(\mathbf{n}\):

\[
|\mathbf{n}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7
\]

\[
\hat{\mathbf{n}} = \left(\frac{2}{7}, \frac{-3}{7}, \frac{6}{7}\right)
\]

### 5. Calcolo del flusso del campo elettrico
Il flusso \(\Phi_E\) del campo elettrico attraverso il quadrato è dato da:

\[
\Phi_E = \mathbf{E} \cdot \mathbf{A} = \mathbf{E} \cdot (\hat{\mathbf{n}} \cdot A)
\]

\[
\Phi_E = \mathbf{E} \cdot (49,0 \cdot \hat{\mathbf{n}})
\]

\[
\Phi_E = \left(5,00 \cdot 10^4, -2,50 \cdot 10^4, 5,00 \cdot 10^4\right) \cdot \left(49,0 \cdot \frac{2}{7}, 49,0 \cdot \frac{-3}{7}, 49,0 \cdot \frac{6}{7}\right)
\]

\[
= (5,00 \cdot 10^4) \cdot (14,0) + (-2,50 \cdot 10^4) \cdot (-21,0) + (5,00 \cdot 10^4) \cdot (42,0)
\]

\[
= 7,00 \cdot 10^5 + 5,25 \cdot 10^5 + 2,10 \cdot 10^6
\]

\[
= 3,375 \cdot 10^6 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}
\]

### Risultato finale
Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie del quadrato è \(\Phi_E = 3,375 \cdot 10^6 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}\).

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### Domande Correlate
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2. Come si trova il vettore normale di un piano?
3. Perché è importante conoscere la direzione del vettore campo elettrico?
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5. In quali casi il flusso del campo elettrico attraverso una superficie è zero?

### Tip
**Per trovare il vettore normale di un piano, puoi sempre utilizzare i coefficienti dell'equazione del piano stesso.**

Scopri come calcolare il flusso del campo elettrico attraverso un quadrato che giace su un piano con un campo elettrico uniforme specificato. Il problema include il calcolo del vettore normale al piano, l'area del quadrato e l'applicazione della formula del flusso elettrico. Adatto per livello universitario.

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