En una compañía que fabrica camisetas deportivas, el costo por mano de obra y materiales es de S/. 21
por cada camiseta producida mientras sus costos fijos ascienden a S/. 70 000. Si el precio de cada
camiseta es de S/. 35
a)
Determine la cantidad mínima de unidades que debe vender para que la compañia genere utilidades.
b)
Determine la cantidad de unidades que debe vender para que las utilidades sean por lo menos
2800 soles. (De la respuesta en notación de intervalo)

Este es un problema típico de **análisis de punto de equilibrio** y de **determinación de utilidades**. Vamos a resolver ambos apartados:

### a) Determinar la cantidad mínima de unidades que debe vender para generar utilidades

Para que una compañía genere utilidades, el **ingreso total** (dinero que recibe por la venta de camisetas) debe ser mayor que el **costo total** (que incluye costos fijos y costos variables). Para encontrar el punto en el que la compañía comienza a generar utilidades, utilizamos la siguiente ecuación de equilibrio:

\[
\text{Ingreso Total} = \text{Costo Total}
\]

#### Datos:
- Precio de venta por camiseta: S/. 35
- Costo variable por camiseta: S/. 21
- Costo fijo: S/. 70,000

El **costo total** es la suma de los costos fijos y los costos variables. El **costo variable total** es el costo por cada camiseta (S/. 21) multiplicado por la cantidad de camisetas producidas, denotada como \( q \). El ingreso total es el precio por camiseta (S/. 35) multiplicado por la cantidad \( q \).

\[
\text{Costo Total} = 70,000 + 21q
\]
\[
\text{Ingreso Total} = 35q
\]

Para encontrar la cantidad mínima \( q \) en la que la empresa empieza a generar utilidades, igualamos los ingresos al costo total:

\[
35q = 70,000 + 21q
\]

Resolviendo para \( q \):

\[
35q - 21q = 70,000
\]
\[
14q = 70,000
\]
\[
q = \frac{70,000}{14} = 5,000
\]

La cantidad mínima que debe vender la compañía para comenzar a generar utilidades es **5,000 camisetas**.

### b) Determinar la cantidad de unidades para generar al menos S/. 2,800 de utilidad

Ahora, para obtener una utilidad de al menos S/. 2,800, necesitamos que el ingreso total sea mayor que el costo total por esa cantidad. La ecuación para la utilidad \( U \) es:

\[
U = \text{Ingreso Total} - \text{Costo Total}
\]

Queremos que \( U \geq 2,800 \), es decir:

\[
\text{Ingreso Total} - \text{Costo Total} \geq 2,800
\]

Reemplazando las expresiones:

\[
35q - (70,000 + 21q) \geq 2,800
\]

Simplificando:

\[
35q - 21q - 70,000 \geq 2,800
\]
\[
14q - 70,000 \geq 2,800
\]
\[
14q \geq 72,800
\]
\[
q \geq \frac{72,800}{14} = 5,200
\]

Por lo tanto, la compañía debe vender **al menos 5,200 camisetas** para que las utilidades sean de S/. 2,800 o más.

En notación de intervalo, la respuesta es: \( q \in [5,200, \infty) \).

---

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna duda adicional?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué sucedería si los costos fijos aumentaran a S/. 80,000? ¿Cómo afectaría la cantidad mínima de unidades vendidas?
2. Si el costo por camiseta aumenta a S/. 25, ¿cómo cambia el punto de equilibrio?
3. ¿Qué pasaría si el precio de venta baja a S/. 30 por camiseta?
4. ¿Cómo calcularías el margen de ganancia por cada camiseta vendida?
5. ¿Cómo se representaría gráficamente la relación entre unidades vendidas, costos y utilidades?

**Tip:** Es importante comprender la relación entre costos fijos, costos variables y precio de venta para optimizar la producción y maximizar utilidades.

En una compañía que fabrica camisetas deportivas, el costo por mano de obra y materiales es de S/. 21 por cada camiseta producida mientras sus costos fijos ascienden a S/. 70,000. Si el precio de cada camiseta es de S/. 35: a) Determine la cantidad mínima de unidades que debe vender para que la compañia genere utilidades. b) Determine la cantidad de unidades que debe vender para que las utilidades sean por lo menos 2800 soles. (De la respuesta en notación de intervalo)

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