Az alábbiakban részletesen megválaszolom a kérdéseidet.

1. kérdés: Mennyi volt előzőleg ennek a valószínűsége?

Tegyük fel, hogy Emil 4 hárompontos kísérletet hajtott végre, és ezek közül 3 sikeres volt (1 elhibázott).

A kérdés tehát arra vonatkozik, hogy milyen valószínűséggel dobott Emil 3 sikeres hárompontost és 1 elhibázottat, ha az egyes dobások valószínűsége 0.35, hogy sikeresek, és 0.65, hogy elhibázottak.

Ez egy binomiális eloszlás problémája, ahol a sikeres hárompontosok számát keressük. Az adott probléma szerint:

• A kísérletek száma: $n = 4$
• A sikeres dobások valószínűsége: $p = 0.35$
• A nem sikeres dobások valószínűsége: $q = 1 - p = 0.65$
• A sikeres dobások száma: $k = 3$

A binomiális eloszlás képlete:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

Ahol:

• $\binom{n}{k}$ a kombináció, vagyis az összes lehetséges mód, ahogyan $k$ sikeres dobást választhatunk a $n$ kísérletből.

Most kiszámoljuk ezt a konkrét esetet:

$P(X = 3) = \binom{4}{3} \cdot (0.35)^3 \cdot (0.65)^{1}$

Először számoljuk ki a kombinációt:

$\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$

Ezután behelyettesítve az értékeket:

$P(X = 3) = 4 \cdot (0.35)^3 \cdot (0.65)^1$

Kiszámolva:

$P(X = 3) = 4 \cdot 0.042875 \cdot 0.65$

$P(X = 3) \approx 4 \cdot 0.02786875 = 0.111475$

Tehát a valószínűsége annak, hogy Emil 3 sikeres hárompontos dobást hajtott végre 4 kísérletből, kb. 0.1115, vagyis 11.15%.

2. kérdés: Mennyi a valószínűsége, hogy a következő meccsen Emil hét hárompontos kísérletéből egyszer talál be?

Ez egy másik binomiális eloszlás probléma. Most Emil 7 hárompontos kísérletet hajt végre, és azt keresjük, hogy milyen valószínűséggel dob be pontosan 1 hárompontost.

A kérdéses paraméterek:

• $n = 7$ (7 kísérlet)
• $p = 0.35$ (valószínűsége, hogy sikeres a dobás)
• $q = 1 - p = 0.65$ (valószínűsége, hogy elhibázza a dobást)
• $k = 1$ (csak egy sikeres dobás)

A binomiális eloszlás képlete ismét:

$P(X = 1) = \binom{7}{1} \cdot (0.35)^1 \cdot (0.65)^6$

Számoljuk ki a kombinációt:

$\binom{7}{1} = 7$

Ezután behelyettesítve a számokat:

$P(X = 1) = 7 \cdot (0.35)^1 \cdot (0.65)^6$

Kiszámolva:

$P(X = 1) = 7 \cdot 0.35 \cdot (0.65)^6$

$P(X = 1) = 7 \cdot 0.35 \cdot 0.078125$

$P(X = 1) \approx 7 \cdot 0.02734375 = 0.19140625$

Tehát a valószínűsége annak, hogy Emil 7 hárompontos kísérletéből pontosan 1 sikeres dobást hajt végre, kb. 0.1914, vagyis 19.14%.

---

Bármelyik kérdéshez van kérdésed, vagy szeretnéd, hogy még részletesebben kifejtsem?

Itt van 5 további kérdés, amikkel még mélyebben vizsgálhatjuk a témát:

1. Hogyan változna a valószínűség, ha Emil sikeressége nőne 0.45-re?
2. Hogyan számolnád ki a valószínűséget, ha Emil 10 kísérletet hajtana végre?
3. Milyen hatással lenne a valószínűségekre, ha a hárompontos dobások sikeressége 0.25 lenne?
4. Mi a különbség a binomiális eloszlás és a normális eloszlás között?
5. Hogyan lehetne modellezni a teljes szezon statisztikáit, ha Emil minden meccsen 5 hárompontos próbálkozást hajt végre?

Tip: A binomiális eloszlás segítségével bármely olyan kísérlet valószínűségét kiszámíthatjuk, amelyben két lehetséges kimenet (siker vagy hiba) van, és az események függetlenek egymástól.