(3x²+x³)⁵ ordenar el Polinomio resultante de forma creciente,el cuarto término del desarrollo es:

Para resolver el desarrollo de \((3x^2 + x^3)^5\) y encontrar el cuarto término en el orden creciente de sus términos, utilizaremos el **Teorema del binomio** de Newton. El teorema nos dice que:

\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
\]

Donde:
- \( a = 3x^2 \)
- \( b = x^3 \)
- \( n = 5 \)

El desarrollo de \((3x^2 + x^3)^5\) será la suma de los términos:

\[
\binom{5}{k} (3x^2)^{5-k} (x^3)^k
\]

#### Paso 1: Desarrollo de los términos
Ahora calculamos cada término hasta el cuarto término.

1. **Término 1**: \( k = 0 \)
   \[
   \binom{5}{0} (3x^2)^5 (x^3)^0 = 1 \cdot (3x^2)^5 = 1 \cdot 243x^{10} = 243x^{10}
   \]

2. **Término 2**: \( k = 1 \)
   \[
   \binom{5}{1} (3x^2)^4 (x^3)^1 = 5 \cdot (3x^2)^4 \cdot x^3 = 5 \cdot 81x^8 \cdot x^3 = 405x^{11}
   \]

3. **Término 3**: \( k = 2 \)
   \[
   \binom{5}{2} (3x^2)^3 (x^3)^2 = 10 \cdot (3x^2)^3 \cdot x^6 = 10 \cdot 27x^6 \cdot x^6 = 270x^{12}
   \]

4. **Término 4**: \( k = 3 \)
   \[
   \binom{5}{3} (3x^2)^2 (x^3)^3 = 10 \cdot (3x^2)^2 \cdot x^9 = 10 \cdot 9x^4 \cdot x^9 = 90x^{13}
   \]

Por lo tanto, el **cuarto término** del desarrollo es **\(90x^{13}\)**.

### Paso 2: Ordenar el polinomio
El polinomio completo tendrá los siguientes términos en orden creciente de exponentes de \(x\):

\[
243x^{10} + 405x^{11} + 270x^{12} + 90x^{13} + \dots
\]

### Respuesta:
El **cuarto término** del desarrollo es **\(90x^{13}\)**.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica el teorema del binomio a polinomios más grandes?
2. ¿Cómo se determina el coeficiente binomial en desarrollos?
3. ¿Cuál es el procedimiento para encontrar cualquier otro término de la expansión?
4. ¿Cómo se puede simplificar un desarrollo binomial más complejo?
5. ¿Cómo influye el exponente \(n\) en la cantidad de términos en la expansión binomial?

### Tip:
Recuerda que el orden creciente de los términos en polinomios depende del grado de \(x\) en cada término, de menor a mayor.

(3x² + x³)⁵ ordenar el Polinomio resultante de forma creciente, el cuarto término del desarrollo es:

Learn how to apply the binomial theorem to expand (3x² + x³)⁵ and find the fourth term in increasing order of powers. This detailed solution walks through the binomial expansion, calculating the fourth term as 90x¹³. Suitable for Grades 11-12 students.

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