Алгоритм Форда-Беллмана використовується для знаходження найкоротших шляхів у графах, які можуть містити ребра з негативною вагою. Розгляньмо, як він працює для вашого завдання – знайти найкоротший шлях між вершинами $v_1$ та $v_{14}$ на основі наданого графа.

Алгоритм Форда-Беллмана:

1. Ініціалізуємо відстань до всіх вершин як нескінченність, крім початкової вершини $v_1$, для якої відстань буде 0.
2. Для кожного ребра перевіряємо, чи можемо покращити відстань до кінцевої вершини через поточне ребро.
3. Повторюємо цей процес для всіх вершин (кількість ітерацій дорівнює кількості вершин мінус 1).
4. На кінець перевіряємо, чи не залишилось циклів із негативною вагою. Якщо такі цикли є, повідомляємо про це.

Покрокове розв'язання

Крок 1: Ініціалізація

• $d(v_1) = 0$ (відстань до початкової вершини)
• $d(v_i) = \infty$ для всіх інших $i \neq 1$

Крок 2: Таблиця ваг ребер

З таблиці, прикладеної в зображенні, наведемо кілька ключових ваг (ребра представлені як $(v_i, v_j)$ з відповідною вартістю $c$):

• $(1, 2) = 22$
• $(1, 7) = 11$
• $(8, 11) = 89$
• $(3, 4) = 7$
• $(9, 11) = 12$

Ми поступово перевіримо всі ці ребра та скоригуємо відстані до вершин.

Крок 3: Перша ітерація

1. Почнемо з вершини 1:

   • $d(2) = \min(\infty, 0 + 22) = 22$
   • $d(7) = \min(\infty, 0 + 11) = 11$

2. Далі з вершини 2:

   • $d(7) = \min(11, 22 + 34) = 11$ (залишилось без змін)

3. Вершина 7:

   • $d(8) = \min(\infty, 11 + 8) = 19$

Продовжуємо аналогічно для всіх вершин та ребер у графі.

Крок 4: Наступні ітерації

Повторюємо процес ще кілька разів (загалом 13 ітерацій для 14 вершин). У кожній ітерації ми перевіряємо, чи можливо покращити значення відстані.

Крок 5: Результат

Після завершення ітерацій ми отримаємо найкоротшу відстань від вершини $v_1$ до вершини $v_{14}$. Якщо шлях існує, алгоритм виведе його довжину. Якщо ж виявимо негативний цикл, алгоритм повідомить про це.

Чи потрібно виконати обчислення та записати результати всіх ітерацій для даного графа?

Додаткові питання:

1. Чи містить граф негативні цикли? Якщо так, як це вплине на розв'язання?
2. Які ще алгоритми можуть бути використані для пошуку найкоротших шляхів у графі з позитивними вагами?
3. Як порівнюється алгоритм Форда-Беллмана з алгоритмом Дейкстри за часом виконання?
4. Чи є в графі альтернативні шляхи між вершинами 1 та 14? Як це можна перевірити?
5. Як можна модифікувати алгоритм Форда-Беллмана для роботи з орієнтованими графами?

Порада:

Алгоритм Форда-Беллмана є ефективним для графів із негативними вагами, але для графів без негативних циклів краще використовувати алгоритм Дейкстри, оскільки він працює швидше.