Per studiare il comportamento della successione $a_n = \frac{4n - 5}{2n + 1}$, analizziamo i seguenti aspetti principali:

1. Dominio e valori iniziali

Il dominio della successione $a_n$ è l'insieme dei numeri naturali, quindi $n \in \mathbb{N}$. Calcoliamo alcuni termini iniziali per avere un'idea del suo comportamento:

$a_1 = \frac{4 \cdot 1 - 5}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$ $a_2 = \frac{4 \cdot 2 - 5}{2 \cdot 2 + 1} = \frac{8 - 5}{4 + 1} = \frac{3}{5}$ $a_3 = \frac{4 \cdot 3 - 5}{2 \cdot 3 + 1} = \frac{12 - 5}{6 + 1} = \frac{7}{7} = 1$ Questi valori iniziali ci danno qualche indicazione, ma per capire il comportamento della successione per $n \to \infty$, occorre calcolarne il limite.

2. Comportamento asintotico e limite

Per studiare il limite della successione $a_n$ per $n \to \infty$, analizziamo la forma generale della successione e dividiamo numeratore e denominatore per $n$:

$a_n = \frac{4n - 5}{2n + 1} = \frac{4 - \frac{5}{n}}{2 + \frac{1}{n}}$

Quando $n \to \infty$, i termini $\frac{5}{n}$ e $\frac{1}{n}$ tendono a zero. Pertanto, la successione tende a:

$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{4}{2} = 2$

3. Monotonia

Per stabilire se la successione è crescente o decrescente, consideriamo la differenza $a_{n+1} - a_n$ oppure calcoliamo la derivata della funzione corrispondente $f(x) = \frac{4x - 5}{2x + 1}$. In questo caso, è sufficiente notare che la funzione è una frazione il cui numeratore e denominatore aumentano linearmente, il che indica che la funzione tende ad avvicinarsi al limite trovato (2) man mano che $n$ cresce. Tuttavia, per una prova rigorosa, si può calcolare la derivata o la differenza tra termini successivi.

4. Conclusione sul comportamento

La successione $a_n = \frac{4n - 5}{2n + 1}$ è asintoticamente convergente verso il valore 2 quando $n$ tende a infinito.

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Domande correlate:

1. Come si determina il comportamento asintotico di una funzione più complessa?
2. Qual è il significato del limite per una successione numerica?
3. Come si può dimostrare rigorosamente se una successione è crescente o decrescente?
4. Esistono altri metodi per trovare il limite di una successione?
5. Come si può verificare se una successione è limitata?

Tip: Per studiare il comportamento di una successione razionale, è utile dividere il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $n$ per semplificarne il limite.