Pour déterminer des bases des sous-espaces $F_1$ et $F_2$ dans $\mathbb{R}^3$, nous allons analyser chaque sous-espace séparément.

1. Sous-espace $F_1$

L'équation qui définit $F_1$ est :
$x + 2y + 3z = 0.$ Cela représente un plan dans $\mathbb{R}^3$. Pour obtenir une base de ce sous-espace, nous devons trouver deux vecteurs linéairement indépendants qui satisfont cette équation.

• Exprimons $x$ en fonction de $y$ et $z$ : $x = -2y - 3z.$

Nous pouvons choisir des valeurs pour $y$ et $z$ afin de générer des vecteurs. Par exemple, choisissons $y = 1$ et $z = 0$, puis $y = 0$ et $z = 1$.

• Si $y = 1$ et $z = 0$, alors $x = -2$, donc un vecteur possible est $(-2, 1, 0)$.
• Si $y = 0$ et $z = 1$, alors $x = -3$, donc un autre vecteur est $(-3, 0, 1)$.

Ainsi, une base de $F_1$ est : $B_1 = \{ (-2, 1, 0), (-3, 0, 1) \}.$

2. Sous-espace $F_2$

L'équation qui définit $F_2$ est :
$\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = z.$ Cela peut être réécrit sous la forme de deux relations : $x = 3z, \quad y = 2z.$ Cela implique que $x$ et $y$ sont tous deux proportionnels à $z$, ce qui signifie que tout vecteur de $F_2$ est un multiple du vecteur $(3, 2, 1)$.

Ainsi, une base de $F_2$ est simplement le vecteur : $B_2 = \{ (3, 2, 1) \}.$

Résumé

• Une base de $F_1$ est $B_1 = \{ (-2, 1, 0), (-3, 0, 1) \}$.
• Une base de $F_2$ est $B_2 = \{ (3, 2, 1) \}$.

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Souhaitez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Voici cinq questions relatives :

1. Comment déterminer si deux vecteurs sont linéairement indépendants ?
2. Que signifie une base d'un sous-espace vectoriel ?
3. Comment résoudre un système d'équations linéaires pour trouver une base ?
4. Quelle est la dimension d'un sous-espace vectoriel ?
5. Comment vérifier si deux sous-espaces sont orthogonaux ?

Astuce : Une bonne méthode pour trouver une base d'un sous-espace défini par une équation est de paramétrer les inconnues et de choisir des valeurs simples pour les variables libres.