Les équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) sont un type particulier d'équations différentielles stochastiques (EDS) dans lesquelles la solution est contrainte de satisfaire une condition terminale au lieu d'une condition initiale. Cela les distingue des EDS classiques où l'on résout le problème à partir d'une donnée initiale. Les EDSR jouent un rôle important dans des domaines comme les mathématiques financières, le contrôle stochastique, et la mécanique quantique.

Formulation Générale

Une EDSR est typiquement de la forme :

$Y_t = \xi + \int_t^T f(s, Y_s, Z_s) \, ds - \int_t^T Z_s \, dW_s, \quad 0 \leq t \leq T,$

où :

• $Y_t$ est la composante inconnue du processus adapté de l'équation.
• $Z_t$ est une autre composante inconnue, souvent liée à la solution de l'équation.
• $\xi$ est une variable aléatoire donnée (condition terminale) dans $\mathcal{F}_T$ (la filtration à l'instant terminal $T$).
• $f$ est une fonction connue, appelée générateur, qui peut dépendre de $t$, $Y_t$, et $Z_t$.
• $W_t$ est un mouvement brownien standard dans un espace probabilisé.

Méthodes de Résolution

La résolution d'une EDSR est un problème délicat car elle nécessite des outils avancés de calcul stochastique. Voici les principales approches utilisées :

1. Méthode de comparaison et d'itération : On utilise les propriétés de monotonie du générateur $f$ pour établir des solutions approximatives convergentes.

2. Lien avec les équations aux dérivées partielles (EDP) : Les EDSR sont étroitement liées aux solutions de viscosité des EDP quasi-linéaires non linéaires. Cela permet d'utiliser des outils analytiques pour résoudre l'EDSR.

3. Approximations numériques : Des méthodes discrètes, comme les schémas de discrétisation pour $Z_t$ et $Y_t$, sont utilisées pour des applications pratiques.

Applications

1. Finance : L'évaluation des options et les modèles d'arbitrage impliquent souvent des EDSR, en particulier pour décrire des prix en présence d'incertitudes dans des conditions terminales.
2. Contrôle optimal : La théorie des jeux différentiels et le contrôle stochastique utilisent des EDSR pour représenter les stratégies optimales.
3. Physique statistique : Les EDSR permettent de modéliser des processus rétrogrades, comme certaines dynamiques en mécanique quantique.

Questions de compréhension

1. Comment les EDSR se différencient-elles des EDS classiques dans leur formulation ?
2. Pourquoi le choix d'une condition terminale est-il pertinent pour certains problèmes ?
3. Quels sont les défis principaux liés à la résolution des EDSR ?
4. En quoi les EDSR sont-elles liées aux équations aux dérivées partielles ?
5. Quelles sont les applications pratiques les plus courantes des EDSR ?

Astuce : Si vous débutez dans les EDSR, familiarisez-vous d'abord avec les notions fondamentales d'EDS, de mouvement brownien et de filtration. Cela facilitera grandement votre compréhension.