Для данной задачи мы будем находить асимптотическое поведение функции $f(x)$ при $x \to x_0$, т.е. искать такие $A$ и $n$, что $f(x) \sim A x^n$ при $x \to x_0$.

Часть (a): $f(x) = \sqrt{x^2 - x + 1}$

1. $x_0 = +\infty$

Рассмотрим поведение $f(x) = \sqrt{x^2 - x + 1}$ при $x \to +\infty$:

1. Распишем подкоренное выражение: $x^2 - x + 1$.
2. При $x \to +\infty$ член $x^2$ доминирует над $-x$ и $+1$, поэтому можно переписать $f(x)$ как: $f(x) = \sqrt{x^2 - x + 1} \approx \sqrt{x^2} = x.$ Таким образом, при $x \to +\infty$, $f(x) \sim x$. Отсюда: $A = 1, \quad n = 1.$

2. $x_0 = -\infty$

Теперь рассмотрим поведение $f(x)$ при $x \to -\infty$:

1. Аналогично, при $x \to -\infty$, $x^2$ доминирует над $-x$ и $+1$, и мы можем снова записать: $f(x) = \sqrt{x^2 - x + 1} \approx \sqrt{x^2} = |x| = -x.$ Здесь знак меняется, но асимптотическое поведение остается тем же. Таким образом, при $x \to -\infty$: $f(x) \sim -x,$ и снова: $A = 1, \quad n = 1.$

Часть (b): $f(x) = \sqrt[3]{1 + x^2} - \sqrt[3]{1 - x^2}$

1. $x_0 = 0$

Рассмотрим поведение функции при $x \to 0$:

1. При малых $x$ разложим подкоренные выражения по Тейлору: [ \sqrt[3]{1 + x^2} \approx 1 + \frac{x^2}{3}, \quad \sqrt[3]{1 - x^2} \approx 1 - \frac{x^2}{3}. ]
2. Тогда функция $f(x)$ приближенно равна: $f(x) = \left(1 + \frac{x^2}{3}\right) - \left(1 - \frac{x^2}{3}\right) = \frac{2x^2}{3}.$ Таким образом, при $x \to 0$: $f(x) \sim \frac{2}{3} x^2.$ Следовательно: $A = \frac{2}{3}, \quad n = 2.$

2. $x_0 = \infty$

Теперь рассмотрим поведение функции при $x \to \infty$:

1. При $x \to \infty$, $x^2$ доминирует в подкоренных выражениях $1 + x^2$ и $1 - x^2$, и мы можем записать: [ \sqrt[3]{1 + x^2} \approx \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}, \quad \sqrt[3]{1 - x^2} \approx -x^{2/3}. ]
2. Тогда $f(x)$ становится: $f(x) = x^{2/3} - (-x^{2/3}) = 2x^{2/3}.$ Таким образом, при $x \to \infty$: $f(x) \sim 2x^{2/3}.$ Отсюда: $A = 2, \quad n = \frac{2}{3}.$

---

Ответ:

1. (a) $f(x) = \sqrt{x^2 - x + 1}$
   • $x_0 = +\infty$: $A = 1$, $n = 1$
   • $x_0 = -\infty$: $A = 1$, $n = 1$
2. (b) $f(x) = \sqrt[3]{1 + x^2} - \sqrt[3]{1 - x^2}$
   • $x_0 = 0$: $A = \frac{2}{3}$, $n = 2$
   • $x_0 = \infty$: $A = 2$, $n = \frac{2}{3}$

Есть ли вопросы по решению?

Дополнительные вопросы:

1. Как построить график функции для проверки асимптотических приближений?
2. Почему для поиска асимптотического поведения мы учитываем только ведущие члены?
3. Какие условия на функцию обеспечивают существование асимптотического приближения?
4. Как использовать разложения Тейлора для других типов функций?
5. Как определить порядок малости или величины для асимптотических выражений?

Совет:

При нахождении асимптотического поведения для сложных функций старайтесь оперировать ведущими членами, что упрощает анализ поведения функции при больших или малых значениях переменной.