Давайте решим задание.

Функция:
$y = -x + 3 + \ln(x + 1)$

Требуется найти уравнения всех асимптот функции.

1. Определение асимптот:

a) Вертикальная асимптота

Вертикальная асимптота возникает в точках, где функция стремится к бесконечности или минус бесконечности.
В данном случае $\ln(x + 1)$ определена только для $x + 1 > 0$, то есть $x > -1$.
Если $x \to -1^+$, то $\ln(x + 1) \to -\infty$.
Таким образом, вертикальная асимптота:
$x = -1$

b) Наклонная (или косая) асимптота

Для поиска наклонной асимптоты находим предел функции при $x \to +\infty$:
$y = -x + 3 + \ln(x + 1).$

1. $\ln(x + 1)$ при больших $x$ можно аппроксимировать как $\ln(x)$, поэтому: $y \approx -x + 3 + \ln(x).$

2. При больших $x$, $-x$ доминирует над логарифмом, поэтому проверим линейный вид функции на больших $x$. Убираем остаточные члены:
   $y_{\text{асимптота}} = -x + 3.$

Таким образом, наклонная асимптота:
$y = -x + 3.$

2. Проверяем предложенные варианты:

1. $x = -1$ — верно (вертикальная асимптота).
2. $y = 3$ — неверно, так как нет горизонтальной асимптоты.
3. $y = -x$ — неверно, это не наклонная асимптота.
4. $y = -x + 3$ — верно (наклонная асимптота).

Ответ:

Верные варианты:
$\boxed{x = -1 \text{ и } y = -x + 3.}$

Хочешь разобрать дополнительные примеры или объяснить понятие асимптот подробнее?

5 вопросов для дальнейшего изучения:

1. Что такое наклонные асимптоты и как их отличить от горизонтальных?
2. Как логарифмические функции влияют на вид асимптот?
3. Какие ещё особенности есть у функции $y = -x + 3 + \ln(x+1)$?
4. Как находить асимптоты в рациональных дробях?
5. Какие методы применимы для анализа функции на разрыв?

Совет:

Чтобы находить асимптоты быстрее, потренируйтесь выделять главные члены функции (те, которые больше всего влияют при $x \to \infty$ или $x \to -\infty$).