Die Aufgabe besteht darin zu analysieren, ob die gegebenen Verknüpfungen auf der Menge $A$ assoziativ und kommutativ sind. Wir betrachten zwei Fälle:

Fall (a): $a \circ b = ab + 1$, wobei $A = \mathbb{Q}$ (die Menge der rationalen Zahlen)

Assoziativität prüfen: Wir müssen überprüfen, ob für alle $a, b, c \in \mathbb{Q}$ gilt: $(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$

Einsetzen der Verknüpfungsdefinition: $(a \circ b) \circ c = (ab + 1) \circ c = (ab + 1)c + 1 = abc + c + 1$ $a \circ (b \circ c) = a \circ (bc + 1) = a(bc + 1) + 1 = abc + a + 1$

Da $abc + c + 1 \neq abc + a + 1$ für allgemeine $a, b, c$ (zum Beispiel $a = 1, b = 1, c = 0$ ergibt $1 \neq 2$), ist die Verknüpfung nicht assoziativ.

Kommutativität prüfen: Wir müssen überprüfen, ob für alle $a, b \in \mathbb{Q}$ gilt: $a \circ b = b \circ a$

Einsetzen der Verknüpfungsdefinition: $a \circ b = ab + 1$ $b \circ a = ba + 1$

Da $ab = ba$ in $\mathbb{Q}$, gilt $ab + 1 = ba + 1$ und somit ist die Verknüpfung kommutativ.

Fall (b): $a \circ b = a$, wobei $A \neq \emptyset$

Assoziativität prüfen: Wir müssen überprüfen, ob für alle $a, b, c \in A$ gilt: $(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$

Einsetzen der Verknüpfungsdefinition: $(a \circ b) \circ c = a \circ c = a$ $a \circ (b \circ c) = a \circ b = a$

Da beide Seiten gleich $a$ sind, ist die Verknüpfung assoziativ.

Kommutativität prüfen: Wir müssen überprüfen, ob für alle $a, b \in A$ gilt: $a \circ b = b \circ a$

Einsetzen der Verknüpfungsdefinition: $a \circ b = a$ $b \circ a = b$

Da $a \neq b$ sein kann, ist $a \circ b \neq b \circ a$, also ist die Verknüpfung nicht kommutativ.

Zusammenfassung:

• In Fall (a) ist die Verknüpfung nicht assoziativ aber kommutativ.
• In Fall (b) ist die Verknüpfung assoziativ aber nicht kommutativ.

Haben Sie weitere Fragen dazu oder brauchen Sie eine detailliertere Erklärung zu einem der Teile? Hier sind einige Fragen, die Sie vielleicht auch interessieren könnten:

1. Warum ist die Multiplikation von rationalen Zahlen kommutativ?
2. Wie würde sich die Kommutativität ändern, wenn $A = \mathbb{Z}$ statt $\mathbb{Q}$ wäre?
3. Könnten Sie ein Beispiel geben, bei dem die Nicht-Assoziativität in Fall (a) deutlich wird?
4. Warum ist die Identitätsverknüpfung $a \circ b = a$ assoziativ?
5. Wie könnte man eine Verknüpfung auf $\mathbb{Q}$ definieren, die sowohl assoziativ als auch kommutativ ist?

Tipp: Überprüfen Sie die Eigenschaften einer Verknüpfung immer anhand einfacher Beispiele, um ein intuitives Verständnis zu entwickeln, bevor Sie allgemeine Beweise führen.