https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1726912312924dq8zd7hx.jpg

Die Aufgabe besteht darin zu analysieren, ob die gegebenen Verknüpfungen auf der Menge \( A \) assoziativ und kommutativ sind. Wir betrachten zwei Fälle:

### Fall (a): \( a \circ b = ab + 1 \), wobei \( A = \mathbb{Q} \) (die Menge der rationalen Zahlen)

**Assoziativität** prüfen:
Wir müssen überprüfen, ob für alle \( a, b, c \in \mathbb{Q} \) gilt:
\[ (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) \]

Einsetzen der Verknüpfungsdefinition:
\[ (a \circ b) \circ c = (ab + 1) \circ c = (ab + 1)c + 1 = abc + c + 1 \]
\[ a \circ (b \circ c) = a \circ (bc + 1) = a(bc + 1) + 1 = abc + a + 1 \]

Da \( abc + c + 1 \neq abc + a + 1 \) für allgemeine \( a, b, c \) (zum Beispiel \( a = 1, b = 1, c = 0 \) ergibt \( 1 \neq 2 \)), ist die Verknüpfung nicht assoziativ.

**Kommutativität** prüfen:
Wir müssen überprüfen, ob für alle \( a, b \in \mathbb{Q} \) gilt:
\[ a \circ b = b \circ a \]

Einsetzen der Verknüpfungsdefinition:
\[ a \circ b = ab + 1 \]
\[ b \circ a = ba + 1 \]

Da \( ab = ba \) in \( \mathbb{Q} \), gilt \( ab + 1 = ba + 1 \) und somit ist die Verknüpfung kommutativ.

### Fall (b): \( a \circ b = a \), wobei \( A \neq \emptyset \)

**Assoziativität** prüfen:
Wir müssen überprüfen, ob für alle \( a, b, c \in A \) gilt:
\[ (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) \]

Einsetzen der Verknüpfungsdefinition:
\[ (a \circ b) \circ c = a \circ c = a \]
\[ a \circ (b \circ c) = a \circ b = a \]

Da beide Seiten gleich \( a \) sind, ist die Verknüpfung assoziativ.

**Kommutativität** prüfen:
Wir müssen überprüfen, ob für alle \( a, b \in A \) gilt:
\[ a \circ b = b \circ a \]

Einsetzen der Verknüpfungsdefinition:
\[ a \circ b = a \]
\[ b \circ a = b \]

Da \( a \neq b \) sein kann, ist \( a \circ b \neq b \circ a \), also ist die Verknüpfung nicht kommutativ.

### Zusammenfassung:
- In Fall (a) ist die Verknüpfung **nicht assoziativ** aber **kommutativ**.
- In Fall (b) ist die Verknüpfung **assoziativ** aber **nicht kommutativ**.

Haben Sie weitere Fragen dazu oder brauchen Sie eine detailliertere Erklärung zu einem der Teile? Hier sind einige Fragen, die Sie vielleicht auch interessieren könnten:
1. Warum ist die Multiplikation von rationalen Zahlen kommutativ?
2. Wie würde sich die Kommutativität ändern, wenn \( A = \mathbb{Z} \) statt \( \mathbb{Q} \) wäre?
3. Könnten Sie ein Beispiel geben, bei dem die Nicht-Assoziativität in Fall (a) deutlich wird?
4. Warum ist die Identitätsverknüpfung \( a \circ b = a \) assoziativ?
5. Wie könnte man eine Verknüpfung auf \( \mathbb{Q} \) definieren, die sowohl assoziativ als auch kommutativ ist?

**Tipp:** Überprüfen Sie die Eigenschaften einer Verknüpfung immer anhand einfacher Beispiele, um ein intuitives Verständnis zu entwickeln, bevor Sie allgemeine Beweise führen.

Gegeben seien die folgenden Verknüpfungen o in der Menge A. Begründen Sie, welche davon assoziativ und welche kommutativ sind! (a) a ∘ b = ab + 1, A = Q (b) a ∘ b = a, A ≠ ∅

Analyze the associativity and commutativity of binary operations on the set of rational numbers and non-empty sets. Explore two specific cases: (a) a ∘ b = ab + 1 for rational numbers and (b) a ∘ b = a for arbitrary non-empty sets.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation