Na koliko načina mogu da sede 10 muškaraca i 7 žena za okruglim stolom tako da nijedan od  muškaraca ne sedi pored drugog muškarca?

Da bismo rešili ovaj problem, moramo prvo razumeti osnovna pravila permutacija sa specifičnim ograničenjima.

### Koraci:

1. **Razmislimo o muškarcima**: Ukupno imamo 10 muškaraca. Budući da sede za okruglim stolom, jedan muškarac se može fiksirati na jedno mesto (zbog simetrije kod kružnog rasporeda), a zatim možemo rasporediti preostalih 9 muškaraca. Međutim, ovde imamo ograničenje da nijedan muškarac ne sme sedeti pored drugog muškarca, što znači da između svakog muškarca mora biti jedna žena.

2. **Rasporedimo žene**: Ukupno imamo 7 žena. Ako postavimo 10 muškaraca, između njih ima samo 10 praznih mesta (jedno mesto između svaka dva muškarca). Moramo rasporediti 7 žena na ta mesta.

3. **Raspoređivanje žena na mesta**: Iz 10 mogućih mesta između muškaraca, biramo 7 mesta na koja ćemo smestiti žene. Broj načina da se to uradi je kombinacija \(\binom{10}{7}\).

4. **Permutacije muškaraca i žena**:
   - Muškarci se mogu međusobno rasporediti na \(9!\) načina (jer je jedan muškarac fiksiran).
   - Žene se mogu međusobno rasporediti na \(7!\) načina na odabranim mestima.

### Ukupno rešenje:
Broj načina da se rasporedi 10 muškaraca i 7 žena za okruglim stolom tako da nijedan muškarac ne sedi pored drugog muškarca je:

\[
\binom{10}{7} \times 9! \times 7! = \frac{10!}{3!} \times 7!
\]

Računamo vrednosti:

\[
\binom{10}{7} = \frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120
\]
\[
9! = 362880, \quad 7! = 5040
\]

Sada računamo:

\[
120 \times 362880 \times 5040 = 220 \, 522 \, 393 \, 600
\]

Dakle, postoji **220,522,393,600** načina da se rasporedi 10 muškaraca i 7 žena za okruglim stolom, pod uslovom da nijedan muškarac ne sedi pored drugog muškarca.

### Da li želite detaljnije objašnjenje ili imate neka pitanja?

### Dodatna pitanja:
1. Kako bi se promenio broj permutacija ako bi bilo 8 žena umesto 7?
2. Koliko načina postoji da se rasporedi 10 žena i 7 muškaraca uz ista ograničenja?
3. Na koliko načina mogu da sede 7 muškaraca i 7 žena, bez ograničenja ko sedi pored koga, za pravougaoni sto?
4. Ako je muškarcima zabranjeno sedenje pored dva određena muškarca, kako bi se to rešilo?
5. Kako bi rešili ovaj problem za pravougaoni sto umesto okruglog?

### Tip:
U kružnim permutacijama, često možemo fiksirati jednu osobu kako bismo uklonili simetrije.

Na koliko načina mogu da sede 10 muškaraca i 7 žena za okruglim stolom tako da nijedan od muškaraca ne sedi pored drugog muškarca?

Find out how to arrange 10 men and 7 women around a circular table such that no man sits next to another. This problem involves combinatorics, including circular permutations and combinations. Learn the step-by-step solution suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation