Mari kita selesaikan masalah ini secara bertahap, mulai dari membuktikan bahwa produksi genteng pada bulan ke-5 adalah 5.000 buah dan kemudian menghitung jumlah total genteng yang diproduksi hingga bulan ke-5 menggunakan rumus deret aritmetika.

Langkah 1: Memahami Situasi

• Produksi bulan pertama ($a$) = 3.000 buah
• Setiap bulan produksi bertambah sebesar ($b$) = 500 buah
• Pada bulan ke-5, produksi = 5.000 buah

Langkah 2: Rumus Suku ke-$n$ dalam Deret Aritmetika

Rumus untuk suku ke-$n$ dalam deret aritmetika adalah: $U_n = a + (n - 1) \cdot b$ Di mana:

• $U_n$ adalah produksi pada bulan ke-$n$,
• $a$ adalah produksi pada bulan pertama,
• $b$ adalah peningkatan produksi per bulan,
• $n$ adalah bulan ke-$n$.

Untuk bulan ke-5 ($n = 5$): $U_5 = a + (5 - 1) \cdot b = 3.000 + 4 \cdot 500 = 3.000 + 2.000 = 5.000$ Jadi, terbukti bahwa produksi pada bulan ke-5 adalah 5.000 buah, sesuai dengan informasi yang diberikan.

Langkah 3: Menghitung Jumlah Produksi Hingga Bulan ke-5

Untuk menghitung jumlah total produksi genteng hingga bulan ke-5, kita gunakan rumus jumlah suku deret aritmetika, yaitu: $S_n = \frac{n}{2} \left( 2a + (n-1) \cdot b \right)$ Di mana:

• $S_n$ adalah jumlah total produksi hingga bulan ke-$n$,
• $a$ adalah produksi pada bulan pertama,
• $b$ adalah peningkatan produksi per bulan,
• $n$ adalah bulan ke-$n$.

Untuk bulan ke-5 ($n = 5$): $S_5 = \frac{5}{2} \left( 2 \cdot 3.000 + (5 - 1) \cdot 500 \right)$ $S_5 = \frac{5}{2} \left( 6.000 + 4 \cdot 500 \right)$ $S_5 = \frac{5}{2} \left( 6.000 + 2.000 \right) = \frac{5}{2} \cdot 8.000 = \frac{40.000}{2} = 20.000$

Jadi, jumlah total genteng yang diproduksi hingga bulan ke-5 adalah 20.000 buah.

Kesimpulan:

• Produksi pada bulan ke-5 terbukti adalah 5.000 buah.
• Jumlah total produksi genteng hingga bulan ke-5 adalah 20.000 buah.

Apakah Anda ingin detail lebih lanjut atau memiliki pertanyaan?

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menghitung produksi pada bulan ke-6 jika pola ini berlanjut?
2. Bagaimana cara menghitung produksi total hingga bulan ke-10?
3. Apa pengaruh jika peningkatan produksi per bulan berubah menjadi 600 buah?
4. Bagaimana mengubah rumus ini untuk kasus di mana peningkatan produksinya tidak konstan?
5. Bagaimana menentukan bulan ke berapa produksi akan mencapai 10.000 buah per bulan?

Tip: Deret aritmetika sangat berguna dalam memodelkan pertumbuhan linier, terutama dalam konteks produksi atau distribusi.