Предполагая, что ответ будет многочленом от n, сделайте предположение о его степени, подберите коэффициенты так, чтобы «сработали» база и шаг индукции и докажите получившуюся формулу для сумм 1 + 4 + 7 + . . . + (3n − 2)

Давайте рассмотрим сумму последовательности:

\[
S(n) = 1 + 4 + 7 + \dots + (3n - 2)
\]

Это арифметическая прогрессия с первым членом \( a_1 = 1 \) и разностью \( d = 3 \). Нам нужно найти формулу для суммы \( S(n) \) и доказать её с помощью математической индукции.

### Шаг 1: Формулировка гипотезы

Предположим, что сумма \( S(n) \) является многочленом степени 2 от \( n \), то есть она имеет вид:

\[
S(n) = An^2 + Bn + C
\]

Найдем коэффициенты \( A \), \( B \), \( C \) так, чтобы формула была верной для базы и шагов индукции.

### Шаг 2: Определение коэффициентов

#### Использование известной формулы суммы арифметической прогрессии

Сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии может быть найдена по общей формуле:

\[
S(n) = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
\]

Где \( a_1 = 1 \) и \( a_n = 3n - 2 \), поэтому:

\[
S(n) = \frac{n}{2} \cdot (1 + (3n - 2)) = \frac{n}{2} \cdot (3n - 1)
\]

Упростим выражение:

\[
S(n) = \frac{n(3n - 1)}{2} = \frac{3n^2 - n}{2}
\]

Таким образом, итоговая формула для суммы выглядит так:

\[
S(n) = \frac{3n^2 - n}{2}
\]

### Шаг 3: Доказательство с помощью математической индукции

**База индукции:**

Для \( n = 1 \):

\[
S(1) = 1
\]

Подставим \( n = 1 \) в нашу формулу:

\[
S(1) = \frac{3(1)^2 - 1}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1
\]

База верна.

**Шаг индукции:**

Предположим, что для некоторого \( n = k \) формула верна:

\[
S(k) = \frac{3k^2 - k}{2}
\]

Докажем, что для \( n = k+1 \) она также верна:

\[
S(k+1) = S(k) + (3(k+1) - 2) = S(k) + (3k + 1)
\]

Подставим наше предположение для \( S(k) \):

\[
S(k+1) = \frac{3k^2 - k}{2} + (3k + 1)
\]

Приведем к общему знаменателю:

\[
S(k+1) = \frac{3k^2 - k + 2(3k + 1)}{2} = \frac{3k^2 - k + 6k + 2}{2} = \frac{3k^2 + 5k + 2}{2}
\]

Теперь проверим, что это соответствует формуле для \( S(k+1) \):

\[
S(k+1) = \frac{3(k+1)^2 - (k+1)}{2} = \frac{3(k^2 + 2k + 1) - (k + 1)}{2} = \frac{3k^2 + 6k + 3 - k - 1}{2} = \frac{3k^2 + 5k + 2}{2}
\]

Таким образом, шаг индукции выполнен, и формула доказана.

### Итоговая формула:

\[
S(n) = \frac{3n^2 - n}{2}
\]

Хотите больше деталей по этому решению или есть вопросы?

### 5 вопросов для расширения:

1. Какова общая формула для суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии?
2. Как определить первый и последний член арифметической прогрессии?
3. В чем заключается принцип математической индукции?
4. Как можно доказать другие формулы для сумм арифметических прогрессий?
5. Как можно найти сумму последовательностей, отличных от арифметической прогрессии?

### Совет:

Для любой арифметической последовательности важно правильно определить первый член и разность, так как это ключ к нахождению её суммы!

Learn how to derive the sum formula for the arithmetic progression 1 + 4 + 7 + ... + (3n − 2) using mathematical induction. This problem includes concepts such as quadratic polynomials and the arithmetic series sum formula. Ideal for students in Grades 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation