Давайте рассмотрим сумму последовательности:

$S(n) = 1 + 4 + 7 + \dots + (3n - 2)$

Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 1$ и разностью $d = 3$. Нам нужно найти формулу для суммы $S(n)$ и доказать её с помощью математической индукции.

Шаг 1: Формулировка гипотезы

Предположим, что сумма $S(n)$ является многочленом степени 2 от $n$, то есть она имеет вид:

$S(n) = An^2 + Bn + C$

Найдем коэффициенты $A$, $B$, $C$ так, чтобы формула была верной для базы и шагов индукции.

Шаг 2: Определение коэффициентов

Использование известной формулы суммы арифметической прогрессии

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии может быть найдена по общей формуле:

$S(n) = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)$

Где $a_1 = 1$ и $a_n = 3n - 2$, поэтому:

$S(n) = \frac{n}{2} \cdot (1 + (3n - 2)) = \frac{n}{2} \cdot (3n - 1)$

Упростим выражение:

$S(n) = \frac{n(3n - 1)}{2} = \frac{3n^2 - n}{2}$

Таким образом, итоговая формула для суммы выглядит так:

$S(n) = \frac{3n^2 - n}{2}$

Шаг 3: Доказательство с помощью математической индукции

База индукции:

Для $n = 1$:

$S(1) = 1$

Подставим $n = 1$ в нашу формулу:

$S(1) = \frac{3(1)^2 - 1}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1$

База верна.

Шаг индукции:

Предположим, что для некоторого $n = k$ формула верна:

$S(k) = \frac{3k^2 - k}{2}$

Докажем, что для $n = k+1$ она также верна:

$S(k+1) = S(k) + (3(k+1) - 2) = S(k) + (3k + 1)$

Подставим наше предположение для $S(k)$:

$S(k+1) = \frac{3k^2 - k}{2} + (3k + 1)$

Приведем к общему знаменателю:

$S(k+1) = \frac{3k^2 - k + 2(3k + 1)}{2} = \frac{3k^2 - k + 6k + 2}{2} = \frac{3k^2 + 5k + 2}{2}$

Теперь проверим, что это соответствует формуле для $S(k+1)$:

$S(k+1) = \frac{3(k+1)^2 - (k+1)}{2} = \frac{3(k^2 + 2k + 1) - (k + 1)}{2} = \frac{3k^2 + 6k + 3 - k - 1}{2} = \frac{3k^2 + 5k + 2}{2}$

Таким образом, шаг индукции выполнен, и формула доказана.

Итоговая формула:

$S(n) = \frac{3n^2 - n}{2}$

Хотите больше деталей по этому решению или есть вопросы?

5 вопросов для расширения:

1. Какова общая формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии?
2. Как определить первый и последний член арифметической прогрессии?
3. В чем заключается принцип математической индукции?
4. Как можно доказать другие формулы для сумм арифметических прогрессий?
5. Как можно найти сумму последовательностей, отличных от арифметической прогрессии?

Совет:

Для любой арифметической последовательности важно правильно определить первый член и разность, так как это ключ к нахождению её суммы!