Dada la sucesión aritmética $3, 4, 5, 6, 7.5, \ldots$, resolvamos las dos partes del problema paso a paso.

a) Hallar $a_{63}$

La fórmula general de una progresión aritmética es:

$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$

Donde:

• $a_n$ es el término que buscamos.
• $a_1$ es el primer término de la progresión.
• $d$ es la diferencia común entre los términos consecutivos.
• $n$ es el número del término que queremos encontrar.

En este caso:

• $a_1 = 3$ (el primer término).
• La diferencia común $d = 4 - 3 = 1$.

Ahora, sustituimos en la fórmula para $a_{63}$:

$a_{63} = 3 + (63-1) \cdot 1 = 3 + 62 = 65$

Por lo tanto, el término 63 de la progresión es $a_{63} = 65$.

b) Hallar el valor de $n$ tal que $S_n = 840$

La suma de los primeros $n$ términos de una progresión aritmética está dada por la fórmula:

$S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)$

Queremos encontrar $n$ tal que $S_n = 840$. Sabemos que:

• $a_1 = 3$
• $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d = 3 + (n-1) \cdot 1 = 2 + n$

Sustituimos esto en la fórmula de la suma:

$840 = \frac{n}{2} \cdot (3 + (2+n))$

Simplificamos:

$840 = \frac{n}{2} \cdot (5 + n)$

Multiplicamos ambos lados por 2:

$1680 = n \cdot (5 + n)$

Expandimos la ecuación:

$1680 = n^2 + 5n$

Reordenamos para obtener una ecuación cuadrática:

$n^2 + 5n - 1680 = 0$

Resolvemos esta ecuación cuadrática usando la fórmula general:

$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

En nuestro caso, $a = 1$, $b = 5$, y $c = -1680$. Sustituimos estos valores:

$n = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(-1680)}}{2(1)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 6720}}{2}$ $n = \frac{-5 \pm \sqrt{6745}}{2}$

Aproximamos $\sqrt{6745}$:

$\sqrt{6745} \approx 82.13$

Entonces, tenemos dos soluciones:

n = \frac{-5 + 82.13}{2} \approx 38.57 \quad \text{(descartamos esta solución ya que n debe ser un número entero)} $n = \frac{-5 - 82.13}{2} \approx -43.57 \quad \text{(también se descarta)}$