Ποια είναι η γωνία του μιγαδικού -1+ √3*i


Για να βρούμε τη γωνία του μιγαδικού αριθμού \( z = -1 + \sqrt{3}i \), πρέπει να υπολογίσουμε τη φάση του μιγαδικού αριθμού. Η φάση ενός μιγαδικού αριθμού δίνεται από τον τύπο:

\[
\theta = \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)}\right)
\]

Όπου:
- \(\text{Re}(z)\) είναι το πραγματικό μέρος του \(z\), δηλαδή \(-1\).
- \(\text{Im}(z)\) είναι το φανταστικό μέρος του \(z\), δηλαδή \(\sqrt{3}\).

Έτσι, η γωνία είναι:

\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right) = \tan^{-1}(-\sqrt{3})
\]

Η \(\tan^{-1}(-\sqrt{3})\) μας δίνει μια γωνία που αντιστοιχεί σε \(-\frac{\pi}{3}\) ακτίνια. Ωστόσο, επειδή η φάση του μιγαδικού πρέπει να είναι στο δεύτερο τεταρτημόριο (επειδή το πραγματικό μέρος είναι αρνητικό και το φανταστικό θετικό), πρέπει να προσθέσουμε \(\pi\) στη γωνία:

\[
\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}
\]

Άρα, η γωνία του μιγαδικού αριθμού \( -1 + \sqrt{3}i \) είναι:

\[
\theta = \frac{2\pi}{3} \text{ ακτίνια}
\]

Θες να εξετάσουμε λεπτομέρειες ή έχεις κάποια απορία;  
  
### Σχετικές ερωτήσεις:
1. Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού;
2. Τι σημαίνει γεωμετρικά η φάση ενός μιγαδικού αριθμού;
3. Πώς βρίσκουμε τη φάση όταν ο μιγαδικός είναι στο τρίτο ή τέταρτο τεταρτημόριο;
4. Ποια η σχέση της φάσης ενός μιγαδικού με τον πόλο στο καρτεσιανό επίπεδο;
5. Πώς υπολογίζουμε τη φάση αν ο μιγαδικός αριθμός είναι στο πολικό σύστημα;

### Συμβουλή:
Θυμήσου ότι η φάση ενός μιγαδικού αριθμού είναι πάντα μέσα στο διάστημα \((-\pi, \pi]\) αν θέλουμε να είμαστε συνεπείς στις πράξεις μας.

Ποια είναι η γωνία του μιγαδικού -1+ √3*i

Discover how to find the angle (phase) of the complex number -1 + √3i using inverse tangent and phase properties. This detailed explanation includes relevant formulas and key concepts in complex numbers and trigonometry. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation