Шаг 1: Определение координат точек

Зададим систему координат так, чтобы:

• $A(0,0,0)$
• $B(6,0,0)$
• $D(0,4,0)$
• $A_1(0,0,10)$
• $B_1(6,0,10)$
• $C_1(6,4,10)$
• $D_1(0,4,10)$

Координаты точки $E$

Точка $E$ делит $A A_1$ в отношении $2:3$, значит ее координаты:
$E = \left( 0, 0, \frac{3}{5} \cdot 10 \right) = (0,0,6)$

Координаты точки $F$

Точка $F$ делит $B B_1$ в отношении $1:4$, значит ее координаты:
$F = \left( 6, 0, \frac{1}{5} \cdot 10 \right) = (6,0,2)$

Координаты точки $T$

Точка $T$ — середина $B_1 C_1$, значит ее координаты:
$T = \left( \frac{6+6}{2}, \frac{0+4}{2}, \frac{10+10}{2} \right) = (6,2,10)$

---

Шаг 2: Написание уравнений плоскостей

Плоскость $EFT$

Найдем векторы:
$\overrightarrow{EF} = (6-0, 0-0, 2-6) = (6,0,-4)$ $\overrightarrow{ET} = (6-0, 2-0, 10-6) = (6,2,4)$

Найдем векторное произведение $\overrightarrow{EF} \times \overrightarrow{ET}$:

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 6 & 0 & -4 \\ 6 & 2 & 4 \end{vmatrix}$$ $$\mathbf{i} \begin{vmatrix} 0 & -4 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 6 & -4 \\ 6 & 4 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 6 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\mathbf{i} (0 \cdot 4 - (-4) \cdot 2) - \mathbf{j} (6 \cdot 4 - (-4) \cdot 6) + \mathbf{k} (6 \cdot 2 - 6 \cdot 0)$$ $$\mathbf{i} (8) - \mathbf{j} (24+24) + \mathbf{k} (12)$$ $$(8, -48, 12)$$ Значит уравнение плоскости: $$8x - 48y + 12z = d$$ Подставим точку $$E(0,0,6)$$: $$8(0) - 48(0) + 12(6) = d$$ $$d = 72$$ $$8x - 48y + 12z = 72$$ #### **Плоскость $$AA_1B_1$$** Она задается векторами $$\overrightarrow{AA_1} = (0,0,10)$$ и $$\overrightarrow{AB_1} = (6,0,10)$$. Их векторное произведение: $$\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 10 \\ 6 & 0 & 10 \end{vmatrix}$$ $$\mathbf{i} (0 \cdot 10 - 0 \cdot 10) - \mathbf{j} (0 \cdot 10 - 10 \cdot 6) + \mathbf{k} (0 \cdot 0 - 0 \cdot 6)$$ $$(0, 60, 0)$$ Значит уравнение плоскости: $$60y = d$$ Подставляем $$A(0,0,0)$$: $$d = 0$$ $$60y = 0$$ --- ### **Шаг 3: Угол между плоскостями** Формула для косинуса угла между плоскостями: $$\cos \varphi = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$$ Подставляем нормали $$(8,-48,12)$$ и $$(0,60,0)$$: $$\cos \varphi = \frac{|8(0) + (-48)(60) + 12(0)|}{\sqrt{8^2 + (-48)^2 + 12^2} \cdot \sqrt{0^2 + 60^2 + 0^2}}$$ $$= \frac{| -2880 |}{\sqrt{64 + 2304 + 144} \cdot \sqrt{3600}}$$ $$= \frac{2880}{\sqrt{2512} \cdot 60}$$ $$\sqrt{2512} \approx 50.12$$ $$\cos \varphi \approx \frac{2880}{50.12 \times 60}$$ $$\approx \frac{2880}{3007.2} \approx 0.958$$ $$\varphi \approx \arccos(0.958) \approx 16.9^\circ$$ ### **Ответ:** $$\varphi \approx 16.9^\circ$$ --- Хочешь пояснений по какому-то шагу? Вот 5 дополнительных вопросов для размышления: 1. Как определяется уравнение плоскости через три точки? 2. Как вычислять векторное произведение в общем виде? 3. Почему нормальный вектор плоскости важен для нахождения угла? 4. Как можно проверить, лежит ли точка в плоскости? 5. Как интерпретировать угол между плоскостями в геометрическом смысле? 🔹 **Совет:** В сложных задачах с координатами всегда строй чертеж, это значительно облегчает понимание! 🚀