Для нахождения угла между заданными кривыми $y = f_1(x) = \sin x$ и $y = f_2(x) = \cos x$ в точке их пересечения из диапазона $(0; \pi)$, выполните следующие шаги:

1. Найдем точку пересечения:

Точки пересечения кривых определяются из уравнения: $\sin x = \cos x$ Или: $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4}$

Точка пересечения: $x = \frac{\pi}{4}$. Подставляем в обе функции: $y = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Точка пересечения: $\left( \frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$.

2. Найдем угловые коэффициенты касательных:

Угловой коэффициент касательной к кривой определяется производной функции в точке пересечения.

1. Для $f_1(x) = \sin x$: $f_1'(x) = \cos x$ В точке $x = \frac{\pi}{4}$: $f_1'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

2. Для $f_2(x) = \cos x$: $f_2'(x) = -\sin x$ В точке $x = \frac{\pi}{4}$: $f_2'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. Уравнения касательных:

1. Для $f_1(x)$: Уравнение касательной имеет вид: $y - f_1\left(\frac{\pi}{4}\right) = f_1'\left(\frac{\pi}{4}\right)(x - \frac{\pi}{4})$ Подставляем значения: $y - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(x - \frac{\pi}{4})$ Уравнение касательной: $y = \frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{\pi\sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

2. Для $f_2(x)$: $y - f_2\left(\frac{\pi}{4}\right) = f_2'\left(\frac{\pi}{4}\right)(x - \frac{\pi}{4})$ Подставляем значения: $y - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}(x - \frac{\pi}{4})$ Уравнение касательной: $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\pi\sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

4. Тангенс угла между касательными:

Формула для тангенса угла между двумя прямыми: $\tan \omega = \left| \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} \right|$ Где $k_1$ и $k_2$ — угловые коэффициенты касательных.

Подставляем $k_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $k_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$: $\tan \omega = \left| \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)} \right| = \left| \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{2}{4}} \right|$ $\tan \omega = \left| \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} \right| = 2$

Итоговые ответы:

1. Уравнение касательной к $f_1(x)$: $y = \frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{\pi\sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

2. Уравнение касательной к $f_2(x)$: $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\pi\sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. Значение тангенса угла между кривыми: $\tan \omega = 2$

Вопросы для расширения:

1. Как найти угол между касательными, если даны другие функции $f_1(x)$ и $f_2(x)$?
2. Как изменить подход, если точка пересечения задана вне диапазона $(0; \pi)$?
3. Что делать, если одна из функций является линейной, а другая — нелинейной?
4. Как найти угол между касательными в пространстве (для трёхмерных кривых)?
5. Как определить угол пересечения кривых, если они заданы параметрически?

Совет:

Для сложных вычислений тангенса угла полезно упростить угловые коэффициенты до общего знаменателя перед подстановкой в формулу.