Voy a resolver las preguntas una por una:

1. ¿Qué estudia la Geometría Analítica? La Geometría Analítica estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas, como el plano cartesiano, para representar las relaciones algebraicas que describen dichas figuras. Se encarga de analizar formas geométricas como puntos, rectas, circunferencias, elipses, parábolas y hipérbolas a través de ecuaciones algebraicas.

2. ¿Cuáles son los dos problemas básicos que resuelve la geometría analítica? Los dos problemas principales que resuelve la geometría analítica son:

• El problema de la posición: Determinar la ubicación de los puntos y las figuras geométricas en el plano o en el espacio.
• El problema métrico: Calcular distancias, áreas, ángulos y otras propiedades métricas de las figuras geométricas.

3. Explique las dos herramientas que se requiere para resolver los problemas de geometría analítica. Las dos herramientas principales son:

• Sistema de coordenadas cartesianas: Permite representar puntos, líneas y otras figuras geométricas en el plano o en el espacio utilizando coordenadas numéricas.
• Ecuaciones algebraicas: Describen relaciones geométricas mediante ecuaciones, permitiendo así trabajar con figuras geométricas de manera algebraica.

4. ¿Qué herramientas utilizo para demostrar que dos rectas son perpendiculares y dos rectas son paralelas, explique?

• Rectas perpendiculares: Para demostrar que dos rectas son perpendiculares, se verifica si el producto de sus pendientes es igual a $-1$. Si las pendientes $m_1$ y $m_2$ cumplen que $m_1 \cdot m_2 = -1$, entonces las rectas son perpendiculares.
• Rectas paralelas: Para demostrar que dos rectas son paralelas, se comprueba que tienen la misma pendiente. Si las pendientes de dos rectas son iguales, entonces las rectas son paralelas.

5. Explique cómo resolver el área de un triángulo si tengo los siguientes vectores: $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}, \quad \vec{b} = -2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$

El área de un triángulo formado por dos vectores se calcula con la mitad de la magnitud del producto vectorial entre ambos vectores: $A_{\text{triángulo}} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$

Primero, calculamos el producto vectorial de los dos vectores: $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & -1 \\ -2 & 3 & 1 \end{vmatrix}$ Este determinante nos dará un nuevo vector, y su magnitud será el doble del área del triángulo.

Resolvamos el determinante: $\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} \left( (-2)(1) - (-1)(3) \right) - \hat{j} \left( (1)(1) - (-1)(-2) \right) + \hat{k} \left( (1)(3) - (-2)(-2) \right)$