Gráfico da função quadrática f: R→ R.

Observe o estudo da função, f(x) = ax² + bx + c.

I – A Parábola possui duas raízes reais positivas e, portanto, ∆ > 0.

II – O termo independente da equação c = 3.

III – a > 0: a parábola é côncava para cima.

IV – A função quadrática é positiva somente x > 3.

V - (2, -1) é o ponto de mínimo da função quadrática.

Podemos afirmar que:

a

Todas estão corretas.

b

Todas são falsas.

c

Somente a I é verdadeira

d

Somente II é verdadeira

e

Somente a IV é falsa.


Vamos analisar cada uma das afirmações dadas para a função quadrática \( f(x) = ax^2 + bx + c \).

### Análise das Afirmações:

**I – A Parábola possui duas raízes reais positivas e, portanto, \( \Delta > 0 \).**

- Para que a parábola tenha duas raízes reais positivas, o discriminante (\( \Delta \)) deve ser maior que zero (\( \Delta > 0 \)). Isso está correto. Além disso, as duas raízes sendo positivas indica que o vértice da parábola está à esquerda do eixo y. 
- **Conclusão:** Verdadeira.

**II – O termo independente da equação \( c = 3 \).**

- A informação é dada diretamente, mas sem contexto adicional para verificar se isso afeta a função. Não há nada que contradiga essa afirmação.
- **Conclusão:** Verdadeira.

**III – \( a > 0 \): a parábola é côncava para cima.**

- Se \( a > 0 \), a parábola é côncava para cima, o que significa que os braços da parábola apontam para cima.
- **Conclusão:** Verdadeira.

**IV – A função quadrática é positiva somente para \( x > 3 \).**

- Para que a função seja positiva apenas para \( x > 3 \), isso implicaria que \( x = 3 \) seja uma raiz ou que o ponto de mínimo esteja em \( x = 3 \) com o valor da função positivo para valores maiores que 3. No entanto, isso não se alinha automaticamente com as informações anteriores, especialmente sem saber mais sobre as raízes.
- **Conclusão:** A função não necessariamente é positiva apenas para \( x > 3 \), a menos que as raízes sejam especificamente definidas. Isso pode ser considerado falso em um contexto geral.

**V – (2, -1) é o ponto de mínimo da função quadrática.**

- Para verificar isso, precisaríamos ver que \( f(2) = -1 \) e que \( x = 2 \) é o vértice, dado que \( a > 0 \). No entanto, não temos informações suficientes sobre os coeficientes \( a \), \( b \) e \( c \) para afirmar isso categoricamente.
- **Conclusão:** A afirmação pode ser inconsistente com os dados, especialmente sem mais detalhes. Pode ser considerada falsa.

### Conclusão Final:
**Somente I, II e III são verdadeiras.**

Portanto, a alternativa correta é:

**c) Somente a I é verdadeira**.

---

**Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida?**

Aqui estão 5 perguntas para expandir o conteúdo:

1. Como calcular o vértice de uma parábola para verificar o ponto de mínimo?
2. Como determinar se uma função quadrática possui raízes reais sem resolver a equação?
3. Qual o significado geométrico do discriminante \( \Delta \) em uma equação quadrática?
4. Como as raízes de uma função quadrática influenciam o sinal da função ao longo do eixo \( x \)?
5. Como determinar se uma parábola possui um máximo ou um mínimo?

**Dica:** A análise do discriminante (\( \Delta \)) é essencial para entender o comportamento das raízes de uma função quadrática.

Explore the analysis of the quadratic function f(x) = ax^2 + bx + c, including properties such as discriminant evaluation, vertex determination, and root characteristics. Answering a specific problem regarding the truthfulness of statements related to a quadratic function.

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