Афінний шифр (affine cipher) — це тип підстановочного шифру, який базується на використанні лінійного перетворення символів алфавіту. Він є частковим випадком більш загального класу шифрів із лінійним підстановленням.

Формула афінного шифру:

Для шифрування символу $x$ (його позиції в алфавіті) використовується формула: $E(x) = (a \cdot x + b) \mod m,$ де:

• $a$ та $b$ — ключові параметри шифру, $a > 0$ та $\text{gcd}(a, m) = 1$ (тобто $a$ взаємно просте з $m$),
• $m$ — кількість символів в алфавіті,
• $x$ — номер символу в алфавіті (починаючи з 0),
• $E(x)$ — номер шифрованого символу.

Дешифрування:

Для дешифрування використовується обернена формула: $D(y) = a^{-1} \cdot (y - b) \mod m,$ де:

• $a^{-1}$ — мультиплікативне обернене число до $a$ за модулем $m$ ($a \cdot a^{-1} \equiv 1 \mod m$),
• $y$ — номер зашифрованого символу.

Алгоритм шифрування:

1. Перетворити всі символи повідомлення в їх порядкові номери в алфавіті.
2. Використати формулу $E(x)$ для кожного символу.
3. Замінити обчислені $E(x)$ на відповідні символи шифрованого тексту.

Алгоритм дешифрування:

1. Перетворити символи шифротексту в їх порядкові номери.
2. Використати формулу $D(y)$ для кожного символу.
3. Замінити обчислені $D(y)$ на відповідні символи вихідного тексту.

Приклад:

Дано:

• Алфавіт: латинський ($m = 26$),
• $a = 5, b = 8$,
• Текст: "hello".

Шифрування:

1. Номери символів: $h = 7, e = 4, l = 11, l = 11, o = 14$.
2. Формула: $E(x) = (5x + 8) \mod 26$.
   • $E(7) = (5 \cdot 7 + 8) \mod 26 = 17$,
   • $E(4) = (5 \cdot 4 + 8) \mod 26 = 2$,
   • $E(11) = (5 \cdot 11 + 8) \mod 26 = 15$,
   • $E(14) = (5 \cdot 14 + 8) \mod 26 = 0$.
3. Результат: $r, c, p, p, a$. Зашифрований текст: "rcppa".

Дешифрування:

1. Використовуємо $D(y) = a^{-1} \cdot (y - b) \mod 26$.
2. Обчислюємо $a^{-1} = 21$ (знаходимо мультиплікативне обернене до 5).
3. Дешифруємо:
   • $D(17) = 21 \cdot (17 - 8) \mod 26 = 7$,
   • $D(2) = 21 \cdot (2 - 8) \mod 26 = 4$,
   • $D(15) = 21 \cdot (15 - 8) \mod 26 = 11$,
   • $D(0) = 21 \cdot (0 - 8) \mod 26 = 14$.
4. Відновлений текст: "hello".

Особливості:

1. Ключі $a$ та $b$ визначають стійкість шифру.
2. Мультиплікативний коефіцієнт $a$ має бути взаємно простим з $m$, інакше дешифрування буде неможливим.

Чи бажаєте розглянути конкретний приклад із вашим текстом або ключами?

---

Додаткові питання:

1. Які умови потрібні для правильного вибору коефіцієнтів $a$ та $b$?
2. Як знайти обернене число за модулем для коефіцієнта $a$?
3. Які особливості застосування афінного шифру до різних алфавітів?
4. Чи є алгоритмічні оптимізації для шифрування та дешифрування?
5. Як зміниться шифр при виборі різних модулів $m$?

Порада:

Для спрощення обчислень використовуйте таблиці взаємно простих чисел та попередньо обчислених обернених значень.