carilah sudut lancip antara permukaan-permukaan xy^2z=3x+z^2 dan 3x^2-y^2+2z=1 di titik (1,-2,1)

Untuk menemukan sudut lancip antara dua permukaan pada titik tertentu, kita perlu menghitung gradien dari masing-masing permukaan di titik tersebut dan menggunakan gradien untuk menemukan sudut antara kedua permukaan.

Diberikan:
1. Permukaan pertama: \( xy^2z = 3x + z^2 \)
2. Permukaan kedua: \( 3x^2 - y^2 + 2z = 1 \)
3. Titik yang diberikan: \( (1, -2, 1) \)

### Langkah-langkah Penyelesaian:

1. **Hitung Gradien dari Permukaan Pertama:**

   Persamaan pertama:
   \[
   f(x, y, z) = xy^2z - 3x - z^2
   \]
   Gradiennya adalah:
   \[
   \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)
   \]
   
   Kita hitung masing-masing:
   \[
   \frac{\partial f}{\partial x} = y^2z - 3, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2xyz, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = xy^2 - 2z
   \]
   
   Substitusi titik \( (1, -2, 1) \):
   \[
   \frac{\partial f}{\partial x} = (-2)^2(1) - 3 = 4 - 3 = 1,
   \]
   \[
   \frac{\partial f}{\partial y} = 2(1)(-2)(1) = -4,
   \]
   \[
   \frac{\partial f}{\partial z} = (1)(-2)^2 - 2(1) = 4 - 2 = 2.
   \]
   
   Jadi, gradien permukaan pertama di titik tersebut adalah:
   \[
   \nabla f = (1, -4, 2)
   \]

2. **Hitung Gradien dari Permukaan Kedua:**

   Persamaan kedua:
   \[
   g(x, y, z) = 3x^2 - y^2 + 2z - 1
   \]
   Gradiennya adalah:
   \[
   \nabla g = \left( \frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}, \frac{\partial g}{\partial z} \right)
   \]
   
   Kita hitung masing-masing:
   \[
   \frac{\partial g}{\partial x} = 6x, \quad \frac{\partial g}{\partial y} = -2y, \quad \frac{\partial g}{\partial z} = 2
   \]
   
   Substitusi titik \( (1, -2, 1) \):
   \[
   \frac{\partial g}{\partial x} = 6(1) = 6,
   \]
   \[
   \frac{\partial g}{\partial y} = -2(-2) = 4,
   \]
   \[
   \frac{\partial g}{\partial z} = 2.
   \]
   
   Jadi, gradien permukaan kedua di titik tersebut adalah:
   \[
   \nabla g = (6, 4, 2)
   \]

3. **Hitung Sudut antara Gradien:**

   Sudut \( \theta \) antara dua vektor gradien dapat dihitung dengan:
   \[
   \cos\theta = \frac{\nabla f \cdot \nabla g}{|\nabla f| |\nabla g|}
   \]
   
   Di mana:
   \[
   \nabla f \cdot \nabla g = (1)(6) + (-4)(4) + (2)(2) = 6 - 16 + 4 = -6
   \]
   
   Panjang vektor gradien:
   \[
   |\nabla f| = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21},
   \]
   \[
   |\nabla g| = \sqrt{6^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56}.
   \]
   
   Maka:
   \[
   \cos\theta = \frac{-6}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{56}} = \frac{-6}{\sqrt{1176}}
   \]

4. **Sudut Lancip:**

   Karena sudut lancip yang diminta, kita ambil nilai \( \theta \) yang positif. Hitung sudut \( \theta \) dengan:
   \[
   \theta = \arccos\left(\frac{6}{\sqrt{1176}}\right)
   \]

Jika dilakukan perhitungan lebih lanjut, kita akan memperoleh nilai sudut dalam derajat.

Apakah Anda ingin detail lebih lanjut atau memiliki pertanyaan?

### 5 Pertanyaan Terkait
1. Bagaimana cara menentukan gradien untuk permukaan lain?
2. Mengapa sudut antara permukaan ditentukan menggunakan gradien?
3. Apa aplikasi praktis dari perhitungan sudut antara dua permukaan?
4. Bagaimana cara menyelesaikan soal yang melibatkan tiga atau lebih permukaan?
5. Bisakah metode ini digunakan untuk permukaan non-linear yang lebih kompleks?

### Tip
Ingatlah bahwa gradien selalu tegak lurus terhadap permukaan pada titik tertentu.

Find the acute angle between the surfaces xy^2z = 3x + z^2 and 3x^2 - y^2 + 2z = 1 at the point (1, -2, 1) by calculating the gradients of each surface and using the dot product. This problem involves key concepts in multivariable calculus such as gradients, surface geometry, and the angle between vectors.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation